对一道模拟题的多解探究

☉江苏省丹阳高级中学 张栋斌

三角形中的最值问题是解三角形问题中的重点与难点之一，也是新课标大纲充分体现在“知识点交汇处”命题的一大阵地.通过活泼多样的问题背景设置，题目形象直观，条件中知识交汇点众多，题目具有相当的难度，同时解决问题的思维方式多变，破解方法也多种多样，一直是历年高考、竞赛命题中的基本考点和热点之一.

【例】（2019届江苏省无锡市高三上学期期末检测·14）在锐角三角形ABC中，已知2sin2A+sin2B=2sin2C，则的最小值为______.

本题以锐角三角形ABC为问题背景，通过已知三角关系式2sin2A+sin2B=2sin2C，进而求解三角形的三内角的正切值倒数之和的最小值问题.题中涉及角的参数较多，且三内角之间又相互关联，可以通过题目条件的转化，再借助基本的数学工具（二次函数、三角函数、基本不等式、导数等）来破解相应的最小值问题.

结合题目中的三角关系式，从三角恒等变换的角度或从正弦定理与余弦定理的角度转化，利用相关的三角形内角和公式、诱导公式、同角三角函数基本关系式以及三角恒等变换公式的应用得到3tanA=tanC，再利用两角和的正切公式得到tanB关于tanA的表达式，从而把三角式转化为关于tanA的表达式，最后利用基本不等式即可确定对应的最值问题.

解法1：由2sin2A+sin2B=2sin2C，变形2sin2A-2sin2C=-sin2B，

可得2sin（A+C）sin（A-C）=-sin2B，

即有2sin（A-C）=-sinB，

那么2sinAcosC-2cosAsinC=-sinB=-sin（A+C）=-sinAcosC-cosAsinC，

即3sinAcosC=cosAsinC，亦即3tanA=tanC.

解法2：由2sin2A+sin2B=2sin2C，结合正弦定理可得2a2+b2=2c2，则有b2=2c2-2a2，

以下同解法1.

通过三角恒等变换的角度或从正弦定理与余弦定理的角度得到3tanA=tanC，利用斜三角形中的三角恒等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，借助参数的引入加以转化，并利用基本不等式或导数法即可确定相应的最值问题.

解法3：由解法1或解法2可得3tanA=tanC，

设tanA=x，tanB=y，tanC=z，

结合斜三角形中的三角恒等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，可得x+y+z=xyz，

又z=3x，代入整理要得4x+y=3x2y，即

解法4：由解法3可得，

结合题目中的三角关系式，先利用正弦定理得到b2=2c2-2a2，通过平面几何作图，过点B作BD⊥AC于点D，引入参数x，y，h，利用三角函数的定义分别可以确定tanA与tanC的表达式，或借助余弦定理的转化并结合条件确定参数x，y之间的关系，再利用两角和的正切公式得到tanB的相关表达式，从而把三角式转化为关于参数h与y的表达式，再利用基本不等式即可确定对应的最值问题.

解法5：由2sin2A+sin2B=2sin2C，结合正弦定理可得2a2+b2=2c2，则有b2=2c2-2a2，

如图1，过点B作BD⊥AC于点D，

设AD=x，CD=y，BD=h，

图1

而（x+y）2=b2=2c2-2a2=2（x2+h2）-2（y2+h2）=2（x2-y2），整理可得x=3y，

解法6：由2sin2A+sin2B=2sin2C，结合正弦定理可得2a2+b2=2c2，则有b2=2c2-2a2，

如图1，过点B作BD⊥AC于点D，

设AD=x，CD=y，BD=h，

以下同解法5.

结合题目中的三角关系式，先利用正弦定理得到2a2+b2=2c2，再通过余弦定理的转化得到，利用对三角式的三角恒等转化得到其值为，把问题转化为求解三角函数关系式的最值问题，然后可以借助导数法等来破解.

规律总结

破解三角形中的最值问题，可以通过三角函数的角度或平面几何的角度来切入，无论借助哪种思路来进行破解，往往都综合基本不等式求最值、三角函数求最值、数形结合求最值等方法与技巧来处理，充分体现了知识与方法的多样性与全面化.

其实，对于解三角形问题与三角函数的有机巧妙融合问题，往往可以综合提升不同的知识点间的整合与能力的拓展.同时，此类问题大都运算量较大、公式应用较多，要求我们不仅具有较高的运算水平、较强的运算能力和较好的记忆能力，还应该善于审题，采用相应的破解策略，全面优化过程，提升解题效益，培养数学素养.