一类恒成立问题的转化教学设计及反思*

☉江苏省高淳高级中学 周 坤

一、背景分析

《导数》是高中数学教学中非常重要的一个章节，在每年的高考中也几乎是必考题，而恒成立问题则是导数大题中常见的一种类型.由于本节课是一节复习课，在前段时间的复习中，学生已经进一步巩固了导数的定义及基本应用（如求切线，求单调区间，求极值和最值等），故在此后的学习中，应当注重知识的深化和综合.恒成立问题是导数的综合应用中的常见问题，并且与刚刚复习过的导数的基本应用中的相关知识结合较为紧密，故特选此题作为一个专题进行教学.

二、教学目标

1.通过学生自主学习，体会导数在解决恒成立问题中的作用.

2.通过小组合作互助，总结归纳一些恒成立问题的转化方法.

三、课堂设计思路

自主学习——引导分析——合作探究——提供支持——展示交流——引导评价——自我完善

四、教学过程

（一）课前热身

（2）设函数f（x）=lnx-ax，其中a为实数，若f（x）在［1，+∞）上是单调递减函数，则a的取值范围是______.

（3）已知函数f（x）=ax3-3x+1，对于x∈（0，1］总有f（x）≥0成立，则a的取值范围是______.

说明：本环节由学生课前完成，课上交流，并让学生对（4）进行变式.学生中出现如下变式：

变式1：将“若对任意的x∈［-2，2］，都有f（x）＜g（x）成立”改为“若存在x∈［-2，2］，使得f（x）＜g（x）成立”求实数c的取值范围.

变式2：若对任意的x1，x2∈［-2，2］，都有f（x1）＜g（x2）成立，求实数c的取值范围.

变式3：若对任意的x1∈［-2，2］，存在x2∈［-2，2］，使得f（x1）＜g（x2）成立，求实数c的取值范围.

设计意图：数学的教学要遵循循序渐进的原则，四道题目都是含有参数的恒成立问题，也是此类题型中比较典型的题目.通过学生自己进行变式——讨论——解决问题——展示——归纳方法等可以加深学生对题目本质的理解.

（二）例题演练

例1已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2，

（1）求函数f（x）在［t，t+2］（t＞0）上的最小值；

（2）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围.

设计意图：关于运用导数解决含参函数问题的方法有很多，参数问题形式多样，方法灵活多变，技巧性较强，对于某些“含参函数”题目，不一定只能用某一种方法，还可用多种方法去处理.

例2设函数f（x）=x（ex-1），g（x）=ax2，

（2）当x≥0时f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围.

设计意图：本题的第（1）小题主要是利用导函数的正负来判断原函数的单调性.而第（2）小题大多数同学都是采用参变分离的方法，于是思维受阻，教师应抓住时机加以引导，以此来培养学生思维的灵活性.

学生解答如下：当x=0时，f（x）≥g（x）恒成立，

当x＞0时，f（x）≥g（x）恒成立，即x（ex-1）≥ax2在（0，+∞）恒成立，

若k′（x）=0，即xex-ex+1=0，

然而到此就戛然而止，因为xex-ex+1=0不会解.小组之间讨论激烈但依然无果，那就意味着参变分离法无法解决此题.所以参变分离法并不是万能的，对于所学的方法一定要灵活运用.最后通过教师引导，学生利用分类讨论的方法把问题解决.

（2）令h（x）＝x（ex-1-ax），k（x）＝ex-1-ax，

则k′（x）＝ex-a.

当a≤1，则当x∈（0，＋∞）时，k′（x）＞0，k（x）为增函数，而k（0）＝0，所以当x≥0时k（x）≥0，即h（x）≥0.

当a＞1，则当x∈（0，lna）时，k′（x）＜0，k（x）为减函数，而k（0）＝0，从而当x∈（0，lna）时k（x）＜0，即h（x）＜0.

综上所述，可得a的取值范围为（-∞，1］.

（三）巩固练习

2.若函数f（x）=x3+3x，对任意的m∈［-2，2］，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，则x∈______.

3.已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1，xf′（x）≤x2+ax+1恒成立，则a的取值范围是______.

（Ⅱ）设g（x）=x2-2bx+4.当a=时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈［1，2］，使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围.

设计意图：强化训练，巩固本节课的所学知识.

五、教后思考

（一）教学中的成功之处

1.本节课的教学目标得到有效达成.

本课的教学目标是通过学生自主学习，体会导数在解决恒成立问题中的作用；通过小组互助合作，总结归纳出一些恒成立问题的转化方法.令我没有想到的是学生通过课前热身以及各小组的变式练习，总结出了几乎所有的方法，这对于我来讲是一个不小的惊喜.

2.以生为本，体现学生的主体地位与教师的主导地位.

在整个课堂教学中，我通过课前热身的设置，来总结方法，并分别用所总结的方法来解决两道例题.解决例1时，学生分别用了分类讨论和参变分离的方法.在解决例2时，绝大多数学生依然运用参变分离法，但是在解决的过程中遇到了f′（x）=0有解但不可求的瓶颈.然后各个小组进行讨论，老师加以引导，逐渐使学生意识到参变分离法并不是所向披靡，并试着改变方法，可喜的是最后有小组利用分类讨论法把问题解决了.整个过程中，我以组织者的角色参与其中，对小组探究进行指导，对学生不合理、不科学的地方并没有马上指出，而是由其他小组的同学指出，我只是适当点评，学生的主体地位与教师的主导地位得到了发挥.

3.学生学习知识由被动接受转变为主动需求.

在本节课中，学生总结方法，然后合作探究、按照自己对知识的理解去总结、展示，根据自己在解决问题时遇到的瓶颈，去寻求同伴互助.由此可见，学生自己的主观能动性得到发挥，他们是用自己的思想与思维获得知识的，是靠自己的主动需求来获取知识的.只有构建了完整的思维体系，学生们带着思维去学知识，并发挥自己的主观能动性用自己的思想和思维获得知识的过程才算是主动式学习.

4.课堂氛围比较轻松，学生畅所欲言.

“生本教学”倡导以人为本、以生为本，倡导学生自主学习、快乐学习.在这次公开教学中，学生的讨论是自由的，能自由地发挥自己的观点，在展示过程中，也可以畅所欲言，尽管有些表述不是很规范，有些知识点也不是很严密，但这些都是他们经过独立思考而得出的结论.因此，我个人觉得，这样的课堂氛围比较轻松，气氛比较和谐，也比较受学生欢迎.

（二）教学中的明显不足

1.讨论过程中少数学生参与意识差.

学生以小组为单位，进行合作探究，并进行成果展示，这是本节课的主要呈现形式.但在学生讨论过程中，我们不难发现，少数学生参与意识差，他们极少发表个人见解，甚至不发表任何意见.

2.课堂中生成性的知识不够.

在这一节课堂教学中，发挥了学生的主体意识，注重学生合作探究和个性发展，倡导一种开放性课堂.在这样的课堂中，富有教育价值的生成性问题就会出现，但在本节课堂中，这种生成性的问题出现的并不多.因此，学生思维的火花并没有得到充分碰撞，师生互动与互评也未能得到充分实现.