解数学题过程中学生是怎样思考的

☉贵州省贵阳市教育科学研究所 邱云峰

解数学题过程中学生是怎样思考的？这一问题，针对不同的题目学生有不同的思维过程，针对同一题目不同层次的学生也会有不同的思维过程，甚至同一题目同一学生在不同的时间也会有不同的思维过程，也可能在前后两次的思维中完全不同.所以就造成大部分教师在备课备习题的过程中避而不谈、含混其词，在课堂教学中“且问且行，且导且行”.本文尝试从一道函数背景的试题出发，模拟展示学生的思维过程，模拟展示也许只在思维中停留瞬间的过程，从而探寻一些对学生解题有帮助的教学策略.

一、原题再现

（2018年贵州省模拟考试理科数学第21题）

如图1，在矩形ABCD中，A（1，0），B（1+x，0），且x>0，D在曲线上，BC与曲线交于E，四边形ABEF为矩形.

图1

（1）用x分别表示矩形ABCD，曲边梯形ABED及矩形ABEF的面积，并用不等式表示它们的大小关系；

考试过后本题得到一线教师的普遍认可，试题的模拟和检测功能较高.命制本题起源于张景中院士的科普书籍《不用极限的微积分》，试题每一问都紧扣考试大纲要求：第（1）问的要求是了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，了解微积分基本定理的含义；第（2）问的要求是了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值；第（3）问的要求是了解合情推理的含义，能进行简单的类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用，了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法，了解综合法和分析法的思考过程和特点.学科能力方面，本题重点考查抽象概括能力、推理论证能力和应用意识.

二、探寻思维

下面就从学生读题开始来模拟其思维的过程.（有的地方语言上可能有重复，但必要的重复却真实地反映了思维的过程.）

如图1，矩形ABCD，什么叫矩形？矩形有哪些性质？有用吗？

A（1，0），B（1+x，0），点A确定，在x轴上，点B也在x轴上，但不确定，又因为x＞0，则点B在点A的右边；那么x可能取无限大的数，也可以是无限小的一个正数吗？为什么题目要设计点B可变？（暂时还不知道.）

四边形ABEF为矩形，点F是被点E确定的；

题目的已知条件中还有什么是没有被关注到的？图形？图形中还有什么？已知条件中还可以提出一些什么问题？图形中的坐标系没有被关注到？这能有什么帮助吗？好像可以表示出各个点的坐标，也许有用.第（1）问，用x分别表示三个面积，两个矩形面积容易求，但曲边梯形面积如何求呢？定积分？定积分的定义是什么？它的几何意义是什么？微积分基本定理中要注意哪些细节？（参阅教材），“用x表示”就是把x当成一个定值，有x的存在，要表示三个面积的大小关系，确定吗？会涉及分类讨论吗？从图形上看，三个面积有很好的包含关系，大小关系一目了然，难道还有什么特殊情况吗？

解答：矩形ABCD面积为x，曲边梯形ABED面积为，矩形ABEF的面积为，观察图形可得它们的大小关系为.（这个式子有点似曾相识的感觉，和教材上的题目结论有点相似，不知道后面是否还要用）

上面的式子还有什么更细微的细节？（x+1，x-1，1，lnx，2a，＜，联想到平方差公式、特殊值，对数的真数大于0，参数，不等式的性质，特别是乘除时要关注符号）准备对不等式变形时发现，0＜x＜1，可以得出x-1＜0，lnx＜0，x+1＞0，则a＞0，这样对a的范围又缩小了.

【思路】先试一下分离参数的方法，对

（过程中准备放弃！）分母的符号确定，分子呢？试一下.

令h（x）=-2xlnx+x2-1，则h′（x）=-2lnx-2+2x（如果再求导，就要疯了，但好像能判断正负呢！）

（最后发现）h′（x）=2（x-1）-2lnx，由y=x-1，y=lnx的图像可知在（0，1）上h′（x）＞0，

所以h（x）在（0，1）上是增函数，h（x）＜h（1）=0.

所以g′（x）＜0.所以g（x）在（0，1）上是减函数.

所以g（x）＞g（1）=…（结束，g（1）无意义，崩溃.当然，作为教师知道

反思：在构造函数时就没有考虑区间端点是否有意义，说明分离参数法不行.（在考试过程中，如果学生求解到这一步，就很可能没有时间重新回头审视和思考更好的方法了，但高考评卷中可以得到过程分）

三、反思总结

上面描述的是一种思维过程，学生的真实思维过程可能更多或更少，可能更慎密或更悬妙，可能更有顿悟的感觉，但都可以从中探寻到一些解题过程中重要的思维要素和品质.一是观察，既要从整体上观察题目的结构，又要从细节上观察题目描述；既要从文本上观察，又要从图形上观察；既要从条件上观察，又要从问题上观察；既要重视观察的目标方向，又要突出观察的重点.二是提问，用批判性的语言和语气对题目内容提出问题，并由自己不断地回答自己提出的问题.如为什么要给出这个条件？为什么要用“x＞0”？为什么要用“仅有一个交点”？“提问”这一方式是人的思维发展最好的导航，它将人的想法不断拓展到定式范围以外.引导学生在解题过程中不断提出“小问题”，实质上是很好地落实了《普通高中数学课程标准（2017版）》中要求的“提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.”三是联想，每个人在思考问题时都是站在已有的知识和经验上，意识或潜意识中都希望已有的知识和经验能够成为解决新问题的“脚手架”，在审题的过程中大脑不断在搜寻和比较，“这个题目是否就是以前做过的题目？”“这个题目是否与以前做的题目类似？”“这个题目与以前做的题目的哪些部分是相同的？哪些部分是不相同的？相同的部分是否可以朝着相同的路径思考？不同的部分又会带来怎样不一样的结论？”这些问题都不断地促进大脑的联想功能，同时，原问题中一个关键词就可以激起大脑联想到“一片知识”或一套“思维系统”，如原题中的一个“矩形”、“面积”就可以促使大脑迅速联想到整个初中阶段学习的平面几何的内容，题目中的一个点的空间坐标就促使大脑联想到整个空间直角坐标系解决空间线面的数量关系问题的方法系统等.四是养成习惯，我们的学生不应该局限于掌握一些具体的知识点或“死方法”，不应该局限于掌握一些具体的板块题型或解题“套路”，而应该养成一些科学的思维习惯，如细致的观察，耐心的运算，严谨的推理，严密的分析，批判的提问，规范的表达等习惯，逐步提升学生的数学素养，循序渐进地引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.