函数与方程，动静相结合
——2019年江苏卷第14题分析

☉江苏省梁丰高级中学 师全义

函数问题一直是高考中的主旋律之一，此类问题可考查的知识点非常多，变化多端，涉及函数的定义、函数的解析式、函数的基本性质、函数的图像、函数与方程、函数的零点等众多的内容，通过合理配置，有机融合，可以创新出非常多具有原创性、新颖性的函数问题.2019年高考江苏卷第14题，就是在此创新立意下，融合函数的解析式、函数的基本性质、分段函数、函数与方程的根、参数取值范围等相关知识，进行巧妙融合与交汇，烹出一道美味“盛宴”.

一、真题在线

【高考真题】（2019·江苏卷·14）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数.当x∈（0，2］时其中k＞0.若在区间（0，9］上，关于x的方程f（x）=g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是______.

本题给出两个不同的函数的解析式，通过函数的基本性质（涉及周期性、奇偶性等）与图像、方程的根与函数的零点的关系来全面展开，充分融合了分段函数、直线的方程、圆的标准方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等相关知识，考查运算求解能力、化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想，是一道综合性强，能力要求高的创新亮点题.

二、真题解析

方法1：（数形结合法）借助函数y=f（x）的解析式与基本性质确定其对应的图像，再结合函数y=g（x）在不同区间的解析式确定对应的图像，通过数形结合分析，结合题目条件转化为“当x∈（0，1］时，函数f（x）与g（x）的图像的交点有2个”，通过直线与圆的位置关系加以数形结合，直观处理.

解析：当x∈（0，2］时，则知（x-1）2+y2=1（y≥0），又f（x）是周期为4的奇函数，可作出y=f（x）在（0，9］上的图像，如图1所示，

结合以上的图像可知，当x∈（1，2］∪（3，4］∪（5，6］∪（7，8］时，函数f（x）与g（x）的图像的交点只有2个，那么可知当x∈（0，1］∪（2，3］∪（4，5］∪（6，7］∪（8，9］时，函数f（x）与g（x）的图像的交点还有6个.

而当x∈（0，1］时，g（x）=k（x+2）（k＞0）恒过定点A（-2，0），

结合图像可知当x∈（2，3］∪（6，7］时，函数f（x）与g（x）的图像无交点，则当x∈（0，1］∪（4，5］∪（8，9］时，函数f（x）与g（x）的图像的交点还有6个，结合周期性可知当x∈（0，1］时，函数f（x）与g（x）的图像的交点有2个，

结合图形可知此时直线y=k（x+2）（k＞0）与相应的圆弧相交，

当y=k（x+2）（k＞0）与圆弧（x-1）2+y2=1（x∈（0，1］）相切时，可得（此时恰有1个交点）；

当y=k（x+2）（k＞0）过圆弧的最高点B（1，1）时，此时此时恰有2个交点）；

图1

方法2：（代数分析法）借助函数y=f（x）的解析式与基本性质，把其关系转化为相应的分段函数形式，同理也把函数y=g（x）的解析式加以分区间处理，通过转化为“（k2+1）x2+（4k2-2）x+4k2=0在区间（0，1］上有2个根”，构造函数，利用二次函数的图像与性质，列出相应的不等式组来处理.

解析：由于f（x）的周期为4，且f（x）是奇函数，当x∈（0，2］时，f（x）=

又当x∈（2，3］∪（6，7］时，f（x）＜0，g（x）＞0，此时f（x）=g（x）无根，那么有当x∈（0，1］∪（4，5］∪（8，9］时，f（x）=g（x）有6个根，

由周期性可得f（x）=g（x）在区间（0，1］上有2个根，即，亦即（k2+1）x2+（4k2-2）x+4k2=0在区间（0，1］上有2个根，

设函数F（x）=（k2+1）x2+（4k2-2）x+4k2，x∈（0，1］，

方法3：（分离变量法）借助函数y=f（x）的解析式与基本性质，把其关系转化为相应的分段函数形式，同理也把函数y=g（x）的解析式加以分区间处理，通过转化为在区间（0，1］上有2个根”，分离变量，进而构造函数，利用求导并借助函数的单调性来确定函数的最值问题，从而得以确定参数的取值范围.

解析：以上部分同方法2，

总评：方法1是破解本题中比较常见的思维方式，关键是合理的转化，并借助数形结合思想作出相应的函数图像，直观地来确定参数的取值情况；而方法2利用函数分析法，结合函数与方程的关系，利用分段函数的转化来确定对应方程的根的情况；方法3是在方法2的基础上得到相应的方程，进而通过分离参数，利用函数的构造结合导数法来处理参数的取值范围.其实，在分离参数后也可以通过对关系式的变形与转化，利用函数性质或基本不等式的性质来确定取值范围.

三、规律总结

解答本题的关键是如何将方程的根问题等价转化为两个函数图像的交点问题，进而将其转化为一动直线与定曲线的交点的个数问题.破解问题时注意对函数的周期性的理解与掌握，并能加以合理的分类讨论，为正确破解问题提供条件.

其实，巧妙运用数形结合思维来处理与解决一些相关的函数与方程问题、函数的零点问题，往往可起到事半功倍的效果.数形结合思想，主要通过熟知的一次函数、二次函数、反比例函数等基本函数图像来进行数形结合.特别在我们解题时，一般不去追求复杂函数的图像问题，一是由于草图不明确，二是由于草图不准确，往往容易导致错误.数形结合思想的重点所在是“以形助数”，根据对应知识点中的数量与图形之间的对应关系，通过“数”与“形”的相互转化来解决数学问题.尤其在解决一些选择题、填空题时，数形结合思想往往发挥着奇特功效，可以大大地提高解题能力与速度，提升效益.