例说解三角形中与正切函数有关的最值问题

☉广东省高州中学 吴永福

三角形中与正切函数有关的最值问题曾经出现在2016年的江苏高考试题中，近年来在许多高考模拟试题中，又出现了这样的题型，该题型不属于常见题型，对许多人来说比较陌生，难处理，那么如何解这类题型？笔者对这类题型的解法进行了探究，揭示了其存在的一些解题规律，在此与各位分享，望能对各位的解题有所帮助.

类型一、目标函数为正切函数

①目标函数为tanAtanBtanC，条件可化简为tanA+tanB=mtanAtanB（或tanA+tanC=mtanAtanC或tanB+tanC=mtanBtanC）

例1 在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______.

小结：由sinA=2sinBsinC 变形得到tanB+tanC=2tanBtanC，将tanAtanBtanC表示成关于tanBtanC的函数，再求其最小值.

②目标函数为tanAtanBtanC，条件可化简为tanA=mtanB（或tanA=mtanC或tanB=mtanC）

例2在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+2abcosC=3b2，则tanAtanBtanC的最小值为______.

小结：利用公式sin2A-sin2B=sin（A+B）sin（A-B）化简，得 到tanA=3tanB，将tanC 也 用tanB 表 示，将tanAtanBtanC表示成关于tanB的函数，再求其最小值.

例3在锐角三角形ABC中，已知2sin2A+sin2B=2sin2C，则的最小值为______.

小结：根据系数关系将2sin2A+sin2B=2sin2C变形为sin2B=2（sin2C-sin2A），利用公式sin2C-sin2A=sin（C+A）·sin（C-A）化简，得到tanC=3tanA，将tanB也用tanA表示，将表示成关于tanA的函数，再求其最小值.

类型二、目标函数可转化为正切函数

例4锐角△ABC的面积为1，则的最小值为______.

小结：利用三角形的面积为1，将b2用角表示，将用角表示，再利用公式进行化简，得到，根据，得到·，利用均值不等式求得的最大值，从而得到的最小值.

类型三、条件中含正切函数

例5已知在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若tanA=2tanB，则的最大值为______.

小结：将tanA=2tanB 切化弦，变形为sinAcosB=2cosAsinB，再配凑为sin（A+B）=3cosAsinB，即sinC=3cosAsinB，用正、余弦定理转化为边的关系，再求的最大值.

例6已知△ABC的面积为，且满足，则边AC的最小值为______.

小结：将切化弦，表示成2cosAsinB+sinAcosB=sinAsinB，配 凑 成sin（A+B）+cosAsinB=sinAsinB，即sinC=（sinA-cosA）sinB，用正弦定理转化成c=（sinA-cosA）b，利用三角形的面积公式，将边b表示成角A的函数，从而可求出其最小值.