极限法在高中数学中的应用*

☉内江师范学院数学与信息科学学院 郑云升

☉内江师范学院数学与信息科学学院 赵思林

根据极限思想在高中数学中的应用范围，针对极限思想在函数图像、三角函数、不等式、解析几何、立体几何、数列、概率等问题中的应用进行系统的归纳总结及阐述说明，给出较为经典且具有代表性的例题以供参考，为一线数学教育工作者在高中数学课堂教学中渗透极限思想方法提供思路，使学生在数学学习过程中可以从有限中想象无限，从近似中体验精确，让学习不再成为一种负担，让其能够真正应用极限思想进行解题.

一、研究现状

极限思想方法在高中数学中的应用已有不少研究成果，如邵琼等利用极限思想方法针对函数图像、数列、参数取值范围问题优化了解题过程.孙文淼针对导数问题如何利用极限思想解决进行了探究.王国军探讨了极限思想在函数问题、概率问题、立体几何问题中的应用.蔡敬发说明了渗透极限思想在高中数学课堂教学中的方法与必要性.方志平针对利用极限思想巧解几何、函数、不等式等七个方面的问题进行了阐述.刘吉存针对利用极限思想方法速解数学选择题进行了简要研究，不过其列举的题目太少，不具有普遍性.陈晓智等就利用极限思想分析几何图案的极端情形、确定定值定点或定直线、探求问题本质及解题思路进行了细致说明，对学生突破解题有很大帮助.韩庆文、曾光等就极限思想在解决高考题中的函数图像问题进行了研究，并且表明极限法能够迅速、准确地解决函数图形问题.陈炎就把握教学时机，渗透极限思想给出了多个案例说明，论证了极限思想在高中数学中的重要性.高群安等分析了利用极限思想排除假命题、回避分类讨论、简化解题过程、探索证明问题、求最值五个方面，说明了极限思想在高中数学中的广泛应用以及其能够优化解题过程的好处.赵斌从一道高三调研试题所带来的启示中阐述了极限思想能够使学生更形象、更生动、更细致地认识函数的图像和性质，避开复杂运算，降低题目难度，并且能够加快学生的解题速度，表明高中数学教师应该在高三数学复习过程中对极限思想予以足够的重视.王立新主要研究了在数列问题中极限思想的巧用，阐明了在初等数学中合理地运用极限思想使得解题思路自然，方法简捷.武增明对极限思想“另类”的解题价值进行了探索，发现其在解决函数值域问题、判断图形的变化规律、估算中都能得到广泛而灵活的应用.杨俊全面而系统地阐述了如何利用极限思想解决数列问题中的求和问题、求解数列的通项公式以及求数列中的参数范围.华志远通过透视高考热点研究发现在寻找大部分解题思路的过程中能够凝练出极限思想、突破思维定式、利用极限思想优化解题策略、深化极限思想并发现解题结论.

二、极限法在高中数学中的应用

1.在函数中的应用

例1（2010年全国卷改编）函数如果a≠2b≠3c，且f（a）=f（2b）=f（3c），求abc的取值范围.

图1

解析：根据函数我们可以先画出此分段函数的大致图像（如图1）.

又由题干可以知道f（a）=f（2b）=f（3c），那么我们可以作出一条平行于x轴的直线与函数图像相交，使之与函数图像有三个交点，并且得到的三个交点的横坐标就为a，2b，3c.

当这条平行于x轴的直线靠近x轴时有a→1，2b→1，3c→12.

此时有6abc=a·2b·3c→12.

而当这条直线趋近于y=1时，

有a→0.1，2b→10，3c→10，6abc→10.

评注：本题的第一个干扰条件就是a，2b，3c，这里不要被前面的常数所干扰，其常数不管为多少对解题都不会有任何影响，所以在解题时不要被这些看似复杂的条件所干扰.第二就是需要准确画出这个分段函数的图像，找到在同一水平线能够取三个点的y的取值范围，然后利用极限思想取得所求目标的上、下极限即可求出结果.

2.在三角函数中的应用

例2对任何］都有（ ）.

A.sin（sinx）

B.sin（sinx）>cosx>cos（cosx）

C.sin（cosx）

D.sin（cosx）

解析：当x=0和时正弦和余弦均有定义，这时我们考虑其变化趋势.当x→0，则sin（sinx）→0，cosx→1，cos（cosx）→cos1，即可排除A，B选项，而且当时，有cos（sinx）→cos1，cosx→0，排除C，即D为正确选项.

评注：本题的解答很显然是利用了极限思想，并且是直接考虑x的极限状态，避开了复杂的运算，也避免了利用三角函数的单调性来比较大小的复杂过程，极限思想给了我们另一种解题思路.

3.在不等式中的应用

例3（2004年高中数学联赛四川赛区题目改编）已知不等式m2+（sin2θ-5）m+4cos2θ>0恒成立，则参数m的取值范围是（ ）.

A.0≤m≤4 B.1≤m≤4

C.m≤0或m≥4 D.m≤0或m≥1

解析：本题考查参变量的取值范围.当m趋于∞时，左边结果大于0，排除A，B选项.又因为当m趋近于1+时，不等式不一定成立，可以排除掉D选项.所以正确答案为C.

评注：高中常用的极限思想方法其实就是特殊值法的延伸，极限思想方法提供了一种从变化过程中研究事物变化趋势的数学思想方法.巧妙地运用极限思想方法能够很大程度地减少计算量，而减少计算量恰恰就是使数学问题得到快速解决的关键所在，此题目便是利用了极限思想方法，探讨这个问题的极限状态就是减少运算量的重要途径.

4.在立体几何中的应用

例4（1994年高中数学联赛改编）正20棱锥相邻的两侧面所成的二面角的取值范围为（ ）.

图2

解析：设正20棱锥为S-A1A2A3…A20，底面正20边形是固定的，但棱锥的高是可以不断变化的，将顶点S看作动点，当S→底面中心时，底面正20边形就为正20棱锥，在这种情况下二面角α→π且<π；当正20棱锥的顶点无限远离底面中心时，又成为了另一种极限状态，此时棱锥趋近于一个棱柱，二面角α→，所以选项A正确.

评注：同学们在运用极限思想的过程中，要学会以运动的眼光看问题，并着眼于数学问题中可能存在的极限位置或状态，这样才能让问题变得更加简洁明了.

变式：如果是正n棱锥，其相邻的两侧面所成的二面角的取值范围又如何？

极限思想是数学文化中的瑰宝，更是把数学知识转化为思维能力的一种纽带，揭示了数学中的不变量和变量、无限与有限、近似与精确的对立又统一的关系.能够利用极限法解题，体现了学生较强的思维能力，很多题目看似与极限思想毫不沾边，但正是这种看似毫不沾边的表象背后却隐藏着玄机，所以对于某些题目恰当地引入极限思想方法将会给解题带来奇妙的效果.