培养高中生数学直观想象素养的教学研究

☉江苏省南通市开发区天星湖中学 施慧丽

对于高中数学几何知识的学习，除了要掌握必要的计算公式和方法外，还需要具备一定的直观想象素养，养成直观想象的解题思维习惯，这样才能够帮助学生快速地掌握几何知识，有效地破解几何难题.高中几何知识对于部分想象能力强的学生来说不算是什么难点，但是对于缺乏这种能力或者这种能力不高的学生来说，有必要掌握一些直观想象的办法，并由此开拓自身的解题思路，让自身的思维和数学知识产生必要的关联，引导学生在自主想象和思考的过程中逐个击破高中的几何知识难点问题，并以此来提升自己的数学学习能力与数学学科综合成绩.

一、引导学生学习几何知识，形成空间图像表象

教师要明白，让学生学好几何知识，必须要将抽象的几何问题转变为直观的空间图像表象，有了这样的转化，学生才能借助于空间思维能力去构建几何图形，并以此借助运算方法计算几何知识.教师可在教材内容的基础上，着重为学生讲解几何知识的基本原理和公式，让学生学会使用语言、作图等形式传达教材中的几何知识点，并学会使用自己的思维模式去分析几何问题的解题思路.例如，在学习《立体几何初步》一课时，教师可以引导学生从简单的阶段——认识几何知识和学会几何作图出发，让学生构建属于自己思维惯性的几何图形的学习模式，让学生观察图形代表的几何知识点，并由此进一步让学生学会对几何知识的总结.尤其是几何形体之间的联系，像锥体、柱体、台体、球体等这几类立体几何图形的学习，学生需要在自主学习和探索的过程中利用空间图像表象的构建去认识它们之间的相同点和不同点以及联系，如图1所示的圆锥和圆台，它们之间的关系就是圆台可以由圆锥截掉上端的一部分得到.这样便于学生进一步理解和掌握几何图形的一些基础原理，进而加深对几何图形的认识，强化对几何知识的掌握程度.

图1

二、加强学生用图意识，合理利用直观想象解题

高中几何知识的学习需要一定的直观想象能力，尤其是对于在这方面能力薄弱的学生来讲，需要教师强化学生的用图意识，引导学生在合理的直观想象下去逐步解题.因此，教师在日常的几何类知识的教学过程中，需要告诉学生图形转化思想的重要性，让学生学会将教材内容图形表征之间的联系进行自主思考和探索，强化自身的图形转化能力.同时，教师要告诉学生，几何图形是可以使用数学语言去描述的，二者之间存在相互转化的关系，例如告诉学生一些几何图形的常识原理“一条直线上有两个点都在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在一个平面内.”以此来强化学生对图形原理知识的记忆，便于学生在脑海中自主构建图形表征，从而提升解题效率.

三、使用多种画法解题，构建最佳问题

教师引导学生使用多种画法来解题，这不仅有助于学生快速解题，而且有助于提高学生的解题思维能力.同时，在多种画法的解题过程中，教师需要构建出最佳问题，寻找到图形解题的最佳途径，让学生在遇到同类型的题目时，能快速找到最佳画法，而不是在众多画法中难以选择哪一种最为有效.首先，教师需要引导学生学会观察几何类型的题目，以命题人的视角去观察这道题的最佳解题办法，以此构建多样的画法，让几何图像直观地呈现在草稿纸上，这对于学生精确理解题意和快速掌握解题办法有很大的帮助.其次，在学生解题时，要借助脑海中的直观图像来解题，例如在解决函数类的知识题目时，教师就可以引导学生构建最佳解题的思维办法去解题，让函数知识与几何知识得以转化，使用作图的方法来实现函数的最佳解决路径，以此可提升学生的解题质量和效率.

例1已知函数f（x）=若f（x）=10，则x=______.

例题答案：函数f（x）的图像，如图2.由10＞0得f（x）=x2+1=10，且x＜0，得x=-3.

图2

例2已知关于x的方程x2-4|x|+5=m有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为______.

图3

例题分析：这道题如果用直接法的话就要先将方程化简，然后求出x1，x2，并进行分类讨论再应用.这样的过程既繁琐又会加大题目难度；但若结合二次函数来绘制题目图像，采用数形结合的方法，就可以简化解题过程，锻炼学生的直观想象能力.

例题答案：设y1=x2-4|x|+5，y2=m.又y1为偶函数，由图3可知1＜m＜5.

四、培养学生识图能力，变换方式寻求解题办法

识图能力是高中生学习几何知识的一种必备能力.教师在教导学生学习几何知识时，有必要引导学生具备一定的识图能力.在识图过程中，要运用多种方式变化解题，这样才能保障学生已经对题目中的内容充分理解并消化，以此抓取有效的题目信息，帮助学生识图、作图，借助一定的计算公式，得出题目答案.教师要引导学生对题目的问题进行转化，以构建图形的方式转化为自己的理解方式，有效地理解题目中隐藏的信息，以此帮助学生快速理解题目转化，以直观想象解决题目问题.

例3圆x2＋y2-2x-2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为______.

图4

答案：2.

解：因为圆x2+y2-2x-2y+1=0，即（x-1）2+（y-1）2=1，所以该圆为以（1，1）为圆心，r=1为半径的圆，圆心到直线的距离为，则圆上的点到直线的最短距离为dmin=3-1=2.

五、利用特殊模型，提升图形语言转化能力

在高中几何知识的学习中，教师可借助特殊模型的构建，让学生在直观想象的同时，将图形中隐藏的语言进行转化，进而帮助快速解题.例如，在“异面直线的概念”一课的学习中，教师可以让学生使用作图的方式，构建出不同平面内的两条直线，通过两条直线的不同位置变化，来分析这些不同平面内直线之间的关系，并由此掌握不同平面直线位置关系的问题，帮助学生理解异面直线的几何概念.借助特殊的模型，例如两只直尺，在两本书封面上的位置变化来理解异面直线的概念，这些都可以帮助学生掌握一定的图形语言转化形式，培养学生的几何语言理解能力.

六、总结

总之，直观想象素养对于帮助提升高中生学习几何知识极为重要.解决几何问题都需要直观想象，有了这样的能力，学生不但可以加深对几何原理、概念的理解，还可以掌握更快速的解题技巧，对提升学生学习数学知识的效率有重要的现实意义.