由“浅”入“深”看包装
——关于《包装的学问》引发的思考

代洪艳 陕西省西安市莲湖区远东第二小学

一、课前预想

“包装的学问”一课，教参的建议学时是1课时，包装问题在日常生活中也经常遇到，我的头脑中立刻闪现“天价月饼”新闻、长条的餐巾纸、精美的端午节礼品盒等等，所以学好本节课有助于学生感受数学与生活的紧密联系，所以在备课方面我做了精心的准备。

以往的教学大多是先让学生观察这两个相同的长方体，然后动手拼摆、小组交流、评价反馈、验证结论等环节，理解重叠的面最大可以使得表面积最小。但在实际教学中，由于需要通过对2个长方体的动手操作和分别计算，再研究4个长方体的包装问题时，时间显得很仓促，达不到举一反三、触类旁通的教学效果。

我在想：包装的学问，这个“学问”到底是什么？难道只是隐藏的“大面”？研究的重点到底是2个长方体的包装问题还是4个呢？需要3个长方体的叠放问题进行过渡吗？表面积大小比较探索背后的奥秘是什么呢？通过短短的40分钟，能让学生从“一道题”变成懂得“一类题”吗？就一节课而言，从数学的角度应该让学生关注什么，从教育的角度又应该让学生获得什么，不是如何“取”，而是如何“舍”，这一点考量着身为人师的智慧的胆识。

当我苦思冥想不得其解时，我首先想到了我们课堂的主人——学生，学生往往能给我们灵感和启发。

课前，我对全班60名同学进行了随机访谈：给出两个相同的长方体学具（长10cm，宽6cm，高4cm），拼成一个大的长方体，如何拼，能使表面积最小？

其中55名同学能够想到把两个“大面”重叠在一起，有5名同学觉得还需要计算不同的包装方案，再比较表面积。基于此，2个长方体的拼摆，显然低于学生的认知水平。因此，我把本节课的重点放在探究4个长方体拼摆方面的优化策略。

二、课堂实践

（一）情境引入，感受生活中的包装

师：教师节快到了，老师想给自己的好朋友邮寄家乡的茶叶，为了增强礼物的神秘感，我们需要给它？

生：包装一下！

师：如果两盒茶叶包成一包，怎样包才能节约包装纸？（茶叶盒长10cm,宽6cm,高4cm）要想知道需要多少包装纸，从数学的角度，实际上就是求它的什么？

生：表面积！

师：“节约”指的是什么？

生：使表面积最小。

师：那如何摆放能让表面积最小呢？

生：重合的面积越大，表面积越小。

师：什么道理呢？为什么呢？

生：新的长方体表面积等于12个面积之和减去重合的2个面积，也就是露在外面的面积之和。重合的面积越大，减去的越多，那么差越小。

师：同学们真是火眼金睛，一眼就看穿了，那如何求呢？（学生回答，我板书）

（10×6 + 10×4 + 4×6）×2×2-10×6×2=376 cm2

（二）探究新知，创设冲突

师：如果我要送给朋友4盒茶叶，那如何做才能节约包装纸呢？

师：你们觉得呢？大家都同意吗？

生1：同意！

生2：（眼神有迟疑，思考片刻）我觉得对。

生3：4个盒子和2个盒子不一样，有不同的摆法，我觉得还是要先摆一摆，再算一算重合的面积。

师：现在四人一组，先拼一拼，说一说有多少种摆法，再算出不同方案所需要的包装纸的面积。（汇报交流）你们小组是怎样研究这个问题的？

生：我们组分工合作，把所有的包装形式先摆出来，2个负责摆（或画草图），2个学生负责计算。

通过全班交流，在黑板上展示学生的摆法。

方案一：

（10×6 +10×4 +4×6）×2×4-10×6×6 = 632 cm2

生2：我们小组是这样拼的，结果才592 cm2

方案二：（10×12+10×8 +12×8）×2 = 592 cm2

师：那现在谁发现了其中的奥秘呢？

生：这样拼的好处是隐藏了4个“大面”，4个“中面”。4个“大面”和6个“大面”相抵消，只需要比较2个“大面”和4个“中面”，也就是比较1个“大面”和2个“中面”就可以了。1个“中面”是10×4=40 cm2，2个就是80 cm2，而一个“大面”才10×6=60 cm2，所以这种拼法表面积更小。

计算方法如下：

（10×6 +10×4 +4×6）×2×4-10×6×4-10×4×4=592 cm2

（三）交流反思，验证结论

师：同学们表达的太清晰了，逻辑清楚！看来4个长方体包装和2个不一样，也不是只算隐藏的大面，还要观察“大面”，“中面”和“小面”的关系。也就是说，还要看题目给你的具体数据，比如长10cm，宽6cm，高2cm，怎样包装更节约呢？

生：那就直接隐藏“大面”，因为一个“大面”是60 cm2，而2个“中面”才40 cm2。

师：那这里面数据的奥秘是什么呢？

生：如果长、宽、高的差距比较大，那就隐藏“大面”；如果差距比较小，就要计算验证。

师：那相差多少，可以称得上“差距比较大”呢？基于同学们的交流讨论，老师用推理的方法验证如下：

证明：假设长方体的长为a，宽为b，高为h，不妨设a ＞ b ＞h

S1=（a×b + a×4h + b×4h）×2 = 2(ab + 4ah + 4bh)

S2=（a×2b + a×2h +2 b×2h）×2 = 2(2ab + 2ah + 4bh)

S2－S1= 2(2ab + 2ah + 4bh) －2(ab + 4ah + 4bh)

=2(ab －2ah )= 2a (b－2h )

当b －2h＞0即b ＞2h时，S2－S1＞0即S2＞ S1

当b －2h＜0即b ＜2h时，S2－S1＜0即S2＜ S1

当b －2h=0即b =2h时，S2－S1=0即S2= S1

也就是说，长不变，当宽比高的2倍还大时，那就隐藏“大面”即可；当宽小于高的2倍时，那就隐藏4个“大面”，4个“中面”即可。

例如，长是20cm,宽是12cm,高是8cm，因为12 ＜16= 8×2，那就隐藏4个“大面”，4个“中面”即可。

（四）巩固练习

课件出示：课本第81页，包装4盒磁带。

不计算的话，你知道怎样最省包装纸吗？学生们异口同声的回答：知道！因为一看数字特点，16的2倍还小于70，所以直接隐藏最大的面即可。

师：表面积看似简单，其实，可供研究的问题还有很多。由浅入深看包装，也许就是包装的“学问”。

三、课后反思

《学记》：学然后知不足，教然后知困，教学相长也。叶澜教授针对“什么样的课是一堂好课”这一问题，概括了五个方面：有意义的课、有效率的课、有生成性的课、常态下的课、有待完善的课。通过这节课的研究与实践，我有以下几点收获想与大家分享：

（一）找准孩子的最近发展区

课前我对孩子们的情况进行摸底，出乎了我的意料，研究2个长方体的情况，对孩子们的思维训练意义不大，教师不能拘泥于教材，要跳出课本，以学生为本。

（二）由生活中的表面现象看数学的思想本质

通过一节课的学习，不仅是让学生获得一个结论，关键是让学生经历探索的过程，积累思维的经验，感受数学的挑战性，体会数学与生活的紧密联系。

（三）思考远比知识更重要

子曰：“学而不思则罔，思而不学则殆”。这句话的道理，以前并没有那么深刻的体会。直到成为一名教师，才理解的如此通透。一节简单的“数学好玩”实践课，竟然蕴含着深刻的数学道理，这节课，让我对自己的这份教师职业多了一分敬畏，深感自己责任重大！我希望，学校培养的孩子，能用数学的眼光看生活，看世界；能用数学的思维分析生活中的问题；能用数学的语言表达自己的观点。因为热爱，我愿意倾尽全力。从教之路，我会且行且思，且思且行！