数形结合构建模型

钟利明 邵汉民

摘 要：模型思想是重要的数学思想之一。笔者以“烙饼问题”为例，通过对教材的二次开发和利用，在教学过程中抓住烙饼问题的数学本质，数形结合，逐步抽象出数学模型，再利用模型来解决问题，让学生初步感知数学建模的过程。

关键词：数形结合;数学建模;二次开发利用

“烙饼问题”是人教版小学四年级上册教材第八册“数学广角——优化”中的教学内容。通过前一节“沏茶问题”的教学，学生初步理解了“优化”这一数学思想方法。优化的前提是统筹，而统筹的本质是各种数量关系和空间形式的逻辑梳理，也是一种推理和建模的过程。

一、烙饼问题的教学现状和效果检测

（一）烙饼问题的教学流程

在我校的一次数学教研活动中，一位教师执教了“烙饼问题”，教学过程如下。

1.探究烙双数张饼的最优方法：得出只要两张、两张地烙，锅内没有空位，时间最省。

2.探究烙三张饼的最优方法：学生明白要想时间最省，锅内要保证始终要有两张饼，从而得出交替烙饼的最优方法。

3.探究烙五張饼，七张饼……的最优方法：得出只要先两张、两张地烙，最后三张采用交替烙饼的方法。

4.探究饼的张数与所需时间的关系：学生得到“饼的个数×烙一面的时间=所需的最短时间”的结论。

上述教学过程环节清楚，过程完整，学生通过实践操作，逐步得出了烙饼的最优方法，建立起充分利用空间的优化思想，也建立了基本的数学模型。这样的教学设计看似非常合理，也成为绝大部分教师在平时教学过程中所采用的一种教学设计。

但是我们发现：在这样的教学过程中，操作过程和数学模型没有建立一种联系，学生的操作只是为了得到最少的烙饼时间，最后的数学模型也不是从学生的操作过程中逐步抽象出来，也就失去了数学建模的意义。同时由于对模型的理解不深刻，在运用模型解决问题时就会机械死板。

（二）烙饼问题的检测题设计

那么，这种教学状态下的教学效果到底如何呢？我们对四年级和六年级的一个班级分别进行了一次检测，检测的题目如下：

1.锅内同时可以放两张饼，两面都要烙，每烙一面需3分钟。烙7张饼要几分钟？（用算式或示意图表示）

2.在火炉上烤烧饼，每个饼的两个面都要烤，每烤完一面需要2分钟，炉上只能同时烤3个饼，現在要烤7个烧饼，至少需要几分钟？（算式或示意图表示）

3.星期天，小明的爸爸和妈妈要做以下事情：

辅导小明作业30分钟

用除草机除草30分钟（只有一台）

手动吸尘器吸尘30分钟（只有一台）

两人配合最少几分钟完成？（算式或示意图表示）

题目说明：第1题是烙饼问题的基本题型，主要考查学生对烙饼问题的掌握情况，学生可以用画图或直接用“饼的个数×烙一面的时间=所需的最短时间”，这一特殊模型来解决;第2题主要考查学生对烙饼问题的本质理解，就是如何充分利用空间，找到最少的次数，从而得到最省的时间。可以用操作法得到结果，当然也可用模型一“饼的个数×2÷每次同时烙的面数=烙的次数，烙的次数×烙一个面的时间=总时间。”来解决;第3题改变了问题情境，但核心本质还是烙饼问题，因为爸爸、妈妈两人同时做事可以看成锅内同时放两张饼，要完成三件事相当于要烙三张饼，主要考查学生对“烙饼问题”的数学理解以及迁移能力，学生可以套用烙饼问题的一般方法来解答，也可用烙饼问题的模型二：“烙每张饼的时间×张数=总的时间，总的时间÷每次烙的张数=最少时间”来解决

（三）烙饼问题的检测结果分析

第1题：四年级有38人正确，其中画图的只有3人，其余都采用“饼的个数×烙一面的时间=所需的最短时间”这一数学模型。六年级正确的学生有30人，画图的有28 人，采用饼的个数×烙一面的时间=所需的最短时间有2人。从正确率看，六年级还不如四年级;从解题策略看，四年级主要采用模型解决问题，而六年级主要采用画示意图的方式解决。如此大的偏差，实际上也印证了前面的分析，由于我们的课堂教学剥离了数学模型与实际操作的联系，学生没有经历把实际问题抽象成数学的语言、符号等过程，也就不能内化为学生的知识结构。这种牵强的建构，记忆的持久性很短。

第2题：四年级正确率不高，我们在查看错误的原因时发现，大部分错误的学生没有感觉到条件的改变，直接套用“采用饼的个数×烙一面的时间=所需的最短时间”。这也是因为对模型缺乏深刻的理解，再加上老师采用大量的机械训练，造成思维的定势。学生在解决问题过程中出现被动记忆、套用模式和机械模仿等问题。另外正确的学生都采用操作完成，没有一人采用模型计算。而六年级学生由于大部分学生已经遗忘了数学模型，但随着生活经验的增长，解决问题能力的提高，正确率反而比四年级高。另外六年级有3个人采用了模型计算。

第3题：四、六年级正确率都不高，相对而言六年级的正确率要高于四年级。由于改变了问题的情境，四年级学生因为理解能力较弱，同时缺乏一定的生活经验，变通和迁移能力较弱。四年级正确的学生全部采用画示意图的方法，而六年级正确的学生中有5人采用模型来解决。

二、烙饼问题的二次开发和利用

从上面的分析中可以看出，现有的教材编排有很大的问题，“烙饼问题”中蕴含的数学模型思想，与四年级学生的年龄特征、知识水平以及解决问题的能力严重不符。教师在实际教学中处于一种非常尴尬的境地，如果对教学内容进行充分的挖掘，得出烙饼问题的真正数学模型，学生可能理解不了;但如果只是让学生肤浅的找到饼的个数与时间的关系，时间久了学生就会遗忘。也失去了让学生一次感受数学建模的难得机会。同时我们发现对于充分利用空间这一优化思想，随着学生年龄的增加，生活经验的丰富，自然而然就会理解和掌握，所以我们认为“烙饼问题”应该放到更高的年级来教学，而且教学的重点是让学生如何从实际操作中抽象出数学模型，再利用模型解决问题。基于以上的思考，我们对“烙饼问题”教材进行了充分挖掘，在六年级中开展第二次教学，过程如下。

（一）复习、回忆

教师提前请学生复习四年级上册“烙饼问题”，请学生完成以下问题：

1、怎么操作时间最省？

2、要使时间最省关键是什么？

3、计算最省时间的公式是什么？

4、你有什么问题或有什么新的想法？

通过复习，一方面使学生唤醒起对“烙饼问题”的基本题型的操作方法和计算公式的的记忆，明确操作的关键是——充分利用空间，为接下来的教学作了必要的准备。

（二）建立模型一

由于六年级学生生活经验的丰富以及知识和能力的提高，他们对四年级“烙饼问题”有了新的想法。比如：如果锅内能同时放大于两张饼时该如何操作和计算？这时教师顺势出示问题：锅内可以同时放三个饼，要烙6个饼，每个饼的两面都要烙，每个面要2分钟。怎么烙时间最省？请你画出示意图。你能用算式表示这个过程吗？

学生通过观察操作過程得到：6个饼，每个饼有2个面，共有12个面，每次烙熟3个饼，所以全部烙好要12÷3=4（次），总共需4×2=8（分钟）

教师再次出示问题：锅内可以同时放4个饼，要烙7个饼，每个饼的两面都要烙，每个面要2分钟。怎么烙时间最省？请学生先用算式计算，再画示意图验证。

请学生说说算式中的3次在图中的哪里？余数的2个面又在图中的哪里（如图1）？这样提问促使学生理解算法的真正意义，达到“看表征明算理”的目的。

通过刚才的学习，学生已经对锅内同时放多张饼的烙饼问题的算法有了充分的理解，学生很容易就概括出烙饼问题的计算模型一：饼的个数×2÷每次同时烙的面数=烙的次数（不能整除，商用进一法保留整数），烙的次数×烙一个面的时间=总时间。

然后再次提问，这个公式和原来四年级学的公式（饼的个数×烙一面的时间=所需的最短时间）之间有何联系和区别，通过对比使学生明白，原先四年级的计算模型可以从刚才模型中化简而来，原来的模型只能解决锅内放两张饼的问题。

通过观察操作活动，引导学生得出数学模型初步假设，再用实际操作来验证模型的正确性，让学生经历一般数学建模的过程。在这个过程中，小学生最困难的是如何把实际问题抽象成数学符号，并用数学语言把这种关系建立起来。而“数形结合”这一思想方法顺利地解决了这一难点，加深了对模型的理解。另外通过比较，使学生真正明白了原先烙饼问题特殊模型的由来，感受了从一般到特殊的经历。

（三）探究模型二

出示问题：锅内可以同时放两张饼，每张饼烙正面时要2分钟，烙反面时要1分钟，烙4张饼最少要几分钟？请学生画出示意图，想一想，能不能用算式来解决？学生通过小组讨论得出算式：（2+1）×4÷2=6（分钟），并用画图来验证（如图2）。教师提问：为什么要除以2，你能在图中找到除以2的地方吗？

通过教学，帮助学生找到示意图与算式之间的联系，为模型的抽象和建立提供必要的支撑，然后引导学生概括出模型二：饼的张数×烙一张饼的时间÷每次烙的张数=最少时间。

接着教师出示问题：锅内可以同时放两张饼，每张饼烙正面时要2分钟，烙反面时要1分钟，烙5张饼最少要几分钟？请学生用刚才的公式计算并画图验证。学生运用模型二得到算式：（2+1）×5÷2=7.5（分钟），而实际操作的结果是8分钟（如图3）。这时教师引导学生展开讨论，为什么会出现这种偏差？是不是模型出现了问题？

通过讨论学生明白，我们在运用模型二解决刚才的问题时，除以2（相当于平均分成2份）是把左右两边看成相同的，但实际操作左右两边的时间不相同（第4次左面1分钟，右面2分钟），所以两者之间有偏差。由于模型二：饼的张数×烙一张饼的时间÷每次烙的张数=最少时间。这里除以每次烙的张数，相当于把总的时间平均分成相同的部分，而当每部分相同时，也就是锅内每次都是放满的，这就符合了最短时间的要求，所以得到的结果应该是理论上的最省时间。

数学建模过程中，检验、修改是一个不断循环的过程，直至得到的模型符合实际情况。在刚才的教学过程中，学生用模型二解决问题时，发现得到的结果与检验的结果不相同。这就要求学生找到问题所在，并对模型进行修改，直至符合实际情况。完美符合了数学建模的过程，这也是我们选择“烙饼问题”来开展建模教学的真正原因所在。

（四）沟通模型一、二

通过刚才的教学，学生理解和掌握了模型一、二的算法和算理，但两者之间的联系和运用范围学生还没完全理解，为此教师再次提问：能用模型二解答正反面时间相同的烙饼问题吗？如果认为能，请你用模型二解答刚才的几个问题。

学生用模型二计算上面第一个问题：6×（2+2）÷3=8（分钟），发现与模型一的结果一致;第二个问题7×（2+2）÷4=7（分钟），与模型一的结果不一致。这时教师再次提问：为什么会出现这种情况？促使学生在比较中明白模型一与模型二之间的关系，明确模型二才是“烙饼问题”的通用公式，明确模型二得到的结果不一定是最终的结果，需要进行检验和修改。反过来模型二得到的结果也可检验实际操作以及用模型一得到的结果是否正确。如果用实际操作和模型一得到的结果小于模型二得到的结果，或者相差很多时，就可以认定结果是错误的。

1 浙江省杭州市萧山区信息港小学，浙江 杭州 311200

2浙江省杭州市萧山区所前二小，浙江 杭州 311200