探究多边形的外角和

2019-09-10 23:26李榃
读书文摘(下半月) 2019年12期
关键词:五边形外角所指

李榃

如图,∠1、∠2、∠3分别是三角形ABC的三个外角,∠1、∠2、∠3、∠4分别是四边形ABCD的四个外角,∠1、∠2、∠3、∠4、∠5分别是五边形ABCDE的五个外角。设三角形ABC的三个外角和为W3,四边形ABCD的四个外角和为W4,五边形ABCDE的五个外角和为W5。

(1)求W3,W4,W5。

(2)一般地,设n边形的n个外角和为Wn,试求Wn。

一、探究

(1)如图,假设你站在A点,面向正东,那么经过图中的∠1对你来说意味着什么?

若你逆时针旋转∠1后,就与AB(箭头所指)方向一致,继续逆时针旋转∠2后,就与BC(箭头所指)方向一致,继续逆时针旋转∠3后,就与CA(箭头所指)方向一致,并最终回到A点,即逆时针旋转了一周。

如图,作AN∥BC,则∠2=∠BAN,∠3=∠MAN,因此,经过上述逆时针旋转,实质是绕A点转了整整一圈,即W3=360°。

(2)按照(1)中的思路,不难发现W4,W5,Wn均为360°。

二、拓展

如图丁,∠1、∠2、∠3、∠4分别是凹四边形ABCD的四个外角;如图戊,∠1、∠2、∠3、∠4、∠5分别是凹五边形ABCDE的五个外角。试探究所有外角之间有何数量关系?

点拨:如图丁,延長DC,交AB于点P,则∠3=∠BCP。

因为∠2=∠BCP+∠CPB=∠3+∠CPB,∠1+∠CPB+∠4+=360°,所以∠1+∠2+∠4-∠3=360°。

思考:就外角和而言,凹多边形与凸多边形有何区别呢?

当旋转的方向到凹角(如∠3)形成的顶点处时,角是顺时针旋转;当旋转的方向到凸角(如∠1、∠2、∠4)形成的顶点处时,角是逆时针旋转的。从数学角度看,就是“正”与“负”的区别,即把逆时针旋转的角度视为“正角”,把顺时针旋转的角度视为“负角”,由此可以得出结论:对于(凹或凸)多边形而言,所有外角的代数和为360°。

猜你喜欢
五边形外角所指
拼五边形等
密铺五边形,数学史上的最强家庭主妇
趣填51
折纸体验馆
添加辅助线 巧用外角性质
遗忘者
多边形的外角和与边数无关性质的新证
聚焦外角和整体来思考
论《伤逝》中的含蓄意指与双所指现象
火柴迷宫