挖掘定点决定因素，另辟蹊径巧妙解题

王磊　王成功

在解决直线和圆的问题时，不少同学的解题思路往往受到方程思想的禁锢，只会一味地设方程、列方程（组）来解决问题，导致有些问题解决起来既繁义杂，甚至做不出来，本文将介绍一类直线与圆中的定点问题，挖掘隐含定点，另辟蹊径，即可轻松解决，

一、定点与参数范围

例1 已知直线l：kx -y+1+2k=0（k∈R）不过第四象限，求k的取值范围.

阅读完题干，大部分同学很困惑，不知从哪下手解决问题，对参数进行讨论是很多同学可能会想到的一个途径，但是讨论分类的依据是什么？往哪方面去讨论都没有明确的方向，

如果结合问题——求k的取值范围，我们可以把所给直线方程整理为点斜式y-1=k（x+1），显然，直线过定点（-2，1），因此直线不过第四象限，通过作图易得，直线在y上的截距必须大于或等于1.

解 因为直线kx-y+1+2k=O（k∈R）可化为y-1=k（x+2），必过点（-2，1），所以直线不过第四象限，所以2k+1≥1，k≥0.

本题如果不挖掘隐含的定点问题，虽然也能通过设出方程，分别求出两坐标轴上的交点来解决，但是计算量比较大也容易导致错误.

二、定点决定位置关系

例2 直线l：（1+3m）x+（3-2m）y+4m-17=0与圆x2+y2+2x-6y-15=0的交点个数是____________________.

对于本题同学们拿到手就有不少思路，思路一：求出圆心到直线的距离，再比较距离和网半径的大小关系进行判断;思路二：联立方程组，利用判别式判断方程组的解的个数.

这两种思路虽然都可以解决本题，但是第一种做法中距离含有参数，第二种做法解二元二次方程组计算量太大，显然这两种方法都不简洁.

如果我们把直线方程改写成关于m的一元一次方程（3x-2y+4）m+x+3y-17=0，可知直线l必过两条直线3x-2y+4=0与x+3y-17=0的交点，然后再判断计算该定点在圆外、圆上还是圆内即可.

解 依题意，直线l的方程可改写成（3x-2y+4）m+x+3y-17=0，这个关于m的一元一次方程有不止一个解.所以各项系数为0，即3x-2y+4=0且x+3y-17=0.也就是直线l必过直线3x-2y+4=O与x+3y-17=0的交点，由{ 3x-2y+4=0，x+3y-17=0得交点D为（2，5），又圆心为C（-1，3），则CD=√13.又图的半径为5，且√13<5所以点（2，5）在圆内，故直线与网必有两个交点.

通过判断定点与圆的位置关系，显然是解决本题的一条捷径.

例3 圆x2+y2-4x+6y=0与圆x2+y2-6x=0相交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是_____.

本题很多同学的解决办法是，联立方程组求出交点A，B及两点所在直线的斜率，再求中点，根据两直线垂直的斜率之间的关系，确定垂线的斜率，进而得到直线的方程.显然，这样做计算量很大.其实，根据圆的性质可知，两圆相交时，两圆心的连线垂直平分公共弦，因此所求直线必然过两个圆的圆心，这样无需解方程，直接将两个圆的圆心坐标代人直线方程即可.

解 因为圆x2+y2-4x+6y=0与圆x2+y2-6x=0的圆心分别是C1（2，-3）和C2（3，0），所以两圆公共弦AB的垂直平分线即为过C1（2，-3）和C2（3，0）的直线，易得直线方程为3x-y- 9=0.

三、挖掘定点，巧设方程

例4 求经过直线l：2x+3y-5=O和直线l2：3x-2y-3=0的交点，且与直线2x+y-3=0平行的直线方程.

解决本题可以先联立方程组，求出交点，再结合与已知直线平行，求出直线斜率，进而求出直线方程，这样必须解方程组.因为所求直线经过两直线的交点，所以可通过设过两条直线交点的直线系方程，再结合与已知直线平行，无需解方程组即可解决本题.

解 依题意，可设直线方程为2x+3y5+λ（3x-2y-3）=0，即（2+3λ）x+（32λ）y-5-3λ=0.又直线与2x+y-3=0平行，所以2+3λ/-（3-2λ）=-2，解得λ=4/7，所以直线方程为26x+13y-47=0.

利用过两条直线交点的直线系方程，可以在不求交点的情况下轻松求直线方程，

例5 已知两圆M：x2+y2=1O和圆N：x2+y2 +2x+2y-14=0，求过两圆交点，且圆心在直线x+2y-3=0上的圆的方程.

本题很多同学的思路是，先联立方程组，求出两圆交点，再设出同心，进而利用圆心到两交点的距离相等，列方程并求解，得到圓心和半径，进而求出圆的方程，这种做法需要多次解方程组和解方程，计算量很大.我们可以根据过两圆交点的圆系方程，直接设出所求网的方程，进而得出圆心，把圆心直接代人直线方程即可求出圆心和所求圆的方程，

解 依题意，可设所求圆的方程为x2+y2 +2x+2y-14+λ（x2+y2-10）=0，可化简为（1 +λ）x2+（1 +λ）y2+ 2x+2y-14-10λ=0，所以圆心坐标为（-1/1+λ，-1/1+λ），又圆心在直线x+2y-3=0上，所以λ= -2，所以所求圆的方程为x2+y2-2x-2y-6=0.

通过以上几例，我们不难看出在解决直线与同等有关问题时，如果所给条件或者是所求问题含有定点，应充分挖掘出定点，发挥定点在问题中的作用，就可以另辟蹊径解决问题.这样，在多数情况下，都可以起到少解方程少计算，甚至直接得出答案的作用.