“算一次”不行，就“算两次”

周雨霏

首先来看一道题：

试用两种方式表达该正方形的面积，你发现了什么？

解S=（a+b2，S=a2 +2ab+b2

→ 我們可以得到完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2.

早有接触的完全平方公式，想必大家不会陌生，而这种用不同的形式表示同一量，从而建立相等关系的“算两次”的方法在数学中也常常会用到.其实，我们在做计算题的时候，常常会采用不同的算法来检验计算结果是否准确，不也是“算两次”吗？

在算法算理更为复杂的高中数学里，这一种方法也可谓利用得“淋漓尽致”.

根据上面的这个例子，我们还可以发现“算两次”是获得等式的重要方法.如果还是没有感觉，我们就再来看些例题，

先拿刚学习不久的向量运算为例：

例1 设向量a=（cos 75°，sin 75°），b=（cos 15°，sin 15°），试分别计算a·b=|a||b|cosθ及a·b=x1x2+y1y2，比较两次计算结果，你能发现什么？

不妨利用坐标系和单位圆进行研究.

解 依题意，|a|=1，|b|=1，a，b的夹角 θ=60°，

有 a·b = |a| |b| cosθ= cos 60° =cos（75°-15°） ，

又 a·b =x1x2 +y1y2= COS75°cos15°+sin75°sin15°.

结论：明显可以发现cos（75° -15°）=cos75° cos15°+sin75°sin15°.

一般地，可以得到cos（β-α）=COSβCOSα+ sinβsinα，也就是我们在必修4第三章所学习的——两角差的余弦公式.

“算两次”的技巧除了可以得出一些规律性的结论外，还可以灵活运用在计算当中.仍以向量计算为例：

例2 如图3，在△ABC中，点M是AB的中点，且AN=1/2NC·BN与CM相交于点E，设AB=a，AC=b，试用基底a，b表示向量AE.

解析 通过观察可以发现：AE可以在△ANE，△AME中分别表示.

解题先做好准备工作：

在△ABC中，BC=AC-AB=b-a，

MC=MB+BC=1/2AB+BC=1/2a+（b-a）=-1/2a+b，

NB=AB-AN=AB-1/3AC=a-1/3b.

因为可以在△ANE，△AME中分别表示AE，而AN和AM已知，

所以不妨设NE=λNB，ME=μMC，

在△ANE中，AE=AN+NE=1/3b+λ（a-1/3b）=λa+（1/3-1/3λ）b;

在△AME中，AE=AM+ME=1/2a+μ（-1/2a+b）=（1/2-1/2μ）a+μb.

根据平面向量基本定理——如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，可得二元一次方程组

{λ=1/2-1/2μ，1/3-1/3λ=μ，解得{λ=2/5，μ=1/5.所以可得AE=2/5a+1/5b.

问题反思：例2在熟练掌握平面向量基本定理和二元一次方程解法的基础上，采用“算两次”的算法，“锦上添花”达到灵活运算的结果.可见，唯有灵活熟练地掌握更多知识点，才可以“更上一层楼”的加以利用.

感悟提升 初次接触“算两次”思想时，不由得感叹其精妙与神奇，一直在思索是如何强大的逻辑思维才可以一步步地思考到这种方法，后来经过不断地积累和整理，发现可能是“尝试”的结果吧.

解数学题也就好像“人生”，总不可能一帆风顺，遇到瓶颈时，不断地尝试，说不定会有意料之外的惊喜呢！数学作为高考的“大科目”也需要我们每一个人用心体验与感悟，唯有这样，才会“温故而知新”，在学习与生活上更上一层楼！