浅析古典概率

侯立华

摘要：概率论与数理统计作为近代数学的重要分支，在生产生活实践中发挥着极其重要的作用。古典概率是概率论的重要组成部分，与实际联系紧密，在学习古典概率的过程中，将不断提高分析问题、解决问题的能力。本文就古典概率的发展历程、计算方法、实际应用三个方面进行阐述。

关键词：古典概率;样本空间;样本点

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学分支，是近代数学的重要组成部分。概率论是数理统计的理论基础，数理统计则是概率论的重要应用，数理统计是通过观测收集的数据，对研究的随机现象的规律性做出合理的估计与判断。概率论源于对赌博问题的研究，经过数百年的发展，已逐渐渗透到社会生活的各个方面，在自然科学、社会科学、工程技术及生产生活的诸多领域中起到了不可替代的作用，正如法国著名数学家拉普拉斯所说：“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上是概率问题。”概率论的发展经历了古典概率论、分析概率论和测度概率论三个阶段[1]，本文就概率论中的古典概率问题作一简析。

一、古典概率的发展历程[2]

古典概率经历了四个重要的发展时期：16世纪初至17世纪中叶的萌芽时期，代表人物是文艺复兴时期意大利数学家卡尔达诺，发表著作《论机会游戏》，给出了等可能事件发生概率的粗略定义：一个特殊结果的发生的概率等于得到这种结果的各种可能形式除以总范围;17世纪中叶的计算时期，主要代表有法国数学家帕斯卡、费马及荷兰数学家惠更斯，帕斯卡与费马解决著名的“分赌本”问题，惠更斯对他们的工作加以推广，并出版了《论赌博中的计算》一书，该著作被认为是最早的概率论著作;17世纪中叶至18世纪后叶应用的扩大时期，主要代表是瑞士的贝努利家族，主要著作是雅各布贝努利的《猜度术》，该书是概率论历史上的经典著作之一，这一时期，继雅各布贝努利之后，棣莫佛，蒲丰，高斯，泊松等为概率论的发展也做出了突出贡献;18世纪中后叶至19世纪初叶的全面总结与形成时期，代表人物是拉普拉斯，代表著作《概率的分析理论》，给出了古典概率的一般定义和概率计算的一般原理和应用，成为现在概率教科书中古典概率部分的核心内容。

二、古典概率的计算

概率论通过随机试验来揭示随机现象的规律性，随机试验的每一个最基本的不能再分解的试验结果称为一个样本点，试验的所削羊本点构成的集合就是试验的样本空间Q。如掷一颗均匀的骰子，掷出1点就是试验的一个样本点，试验的样本空间包含了1点、2点、3点、4点、5点、6点六个样本点。

（一）古典概率的计算公式

古典概率解决的是古典型随机试验中事件发生概率的计算问题。古典型试验需要满足两个特点：有限性、等可能性。有限性指的是样本空间包含有限多个样本点，等可能性指的是各样本点出现的机会均等。如上述的掷骰子试验。

设古典型随机试验E的样本空间为Ω有n个样本点，如果事件A是由其中的m个样本点组成，则事件A发生的概率[3]

P（A）=m/n（1）

其中樣本空间Ω包含的样本点总数n，也就是试验包含试验结果的个数，确定n的取值就可转化为确定完成试验的方法种数;事件A包含的样本点个数m，即事件A包含的试验结果的个数，确定m的取值就可转化为确定完成事件A的方法种数。计算事件A发生的概率主要是确定n和m的值。

（二）古典概率的计算过程

（1）判断试验是否满足古典型随机试验的两个要求：有限性、等可能性;

（2）明确试验是“做什么”，确定“如何完成”，即完成试验的方法步骤;

（3）计算完成试验的方法种数n;

（4）明确事件A是“做什么”，确定“如何完成”，即完成事件A的方法步骤;

（5）计算完成事件A的方法种数m;

（6）代人公式（1）计算。

确定n和m取值时，通常要用到排列组合的相关知识。

三、古典概率的应用解析

应用古典概率计算公式解决具体问题时，容易忽略的是古典型随机试验等可能性要求。

如掷两颗均匀的骰子，则掷出点数之和为6点的概率是多少？

设事件A=“掷出点数之和为6点”。

常见错误的解法：把掷出点数之和作为试验的样本点，认为样本空间包含2点至12点11个样本点，n=11;事件A包含6点1个样本点，m=1，所以P（A）=m/n=1/11。

上述解法的错误在于忽略了等可能性的要求。上述的2点实际上指的试验结果是第一颗1点，第二颗也是1点，可表示成（1，1），而3点则包含了（1，2）和（2，1）两个结果，上述样本空间的划分违反了古典型试验等可能性的要求。正确的解法如下：

该试验是掷两颗均匀的骰子观察出现的点数，第一颗可能出现的结果有1点至6点6种，第二颗也是1点至6点6种可能结果，利用乘法原理知总共6×6=36种结果，即样本点（1，1），（1，2），（1，3），…，（6，6），n=36;事件A包含了样本点（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），m=5，所以P（A）=m/n=5/36。

古典概率计算步骤中最主要的就是明确“做什么”和确定“如何完成”的过程。因为要确定n和m的值，就是计算完成试验和事件A的方法种数，只有知道试验和事件A是“做什么”的，进而思考“如何完成”的方法步骤，才能利用排列组合的相关知识计算完成试验和事件A的方法种数，即n和m的值。具体试验、事件复杂程度的不同决定完成的难易程度，同一问题完成的方式有多种，判断“做什么”和确定“如何完成”的过程也是锻炼分析问题、解决问题能力的过程。

如甲、乙、丙、丁、戊5人按次序排成一列，则甲、乙不相邻的概率是多少？

该试验是5个人按一定次序排成一列，属于5个元素的全排列问题，共有A=5！种不同的排列方法，即n=5！。

设事件A=“甲、乙不相邻”，则完成事件A的方法有多种，下面介绍三种常用方法：

方法一（枚举法）：如图1 2 3 4 55个位置，先排甲、乙，由于甲、乙不相邻，所以甲、乙可排在1、3位置，1、4位置，1、5位置，2、4位置，2、5位置，3、5位置。每种情况下甲、乙都可交换位置，总共12类不同的选择。每类情况下，5人的排列方法有A=3！种（甲、乙固定，只需排丙、丁、戊，即3个元素的全排列），由加法原理知，完成事件A共有12A种方法，即m=12X3！=72。

方法二（剔除法）：基本思想是总的排列方法个数去掉甲、乙相邻的排列方法个数。确定甲、乙相邻方法种数可以采用捆绑法，由于甲、乙相邻，所以可以将甲、乙捆绑在一起看成一个整体，然后与丙、丁、戊3人进行排列，即4个元素的全排列，有A=4！种不同的排列方法，而甲、乙的捆绑方法有甲、乙和乙、甲两种，所以甲、乙相邻的排列方法共有2A种，利用剔除法得，甲、乙不相邻的排列方法有A-2A种，m=5！-2·4！=72。

方法三（插空法）：如图○□○□○□○，先在3个方块位置对丙、丁、戊3人进行排列，即3个元素的全排列，有A种不同排列方法，然后排甲、乙，甲、乙不相邻，可以排在4个圆圈位置中任意两个，也即是从4个位置中任取2个，甲、乙两人按次序排列，有A种不同的方法，利用乘法原理，甲、乙不相邻的排列方法有A·A种，即m=A·A=72。

由公式（1）MP（A）=m/n=72/5！=3/5。

古典概率作为概率论最初发展阶段的理论，是概率论中最基本最重要的内容之一。古典概率的计算主要是公式（1）中n和m取值的确定，确定n和m的取值，首先要明确试验和事件具体是“做什么”，需要具有良好的对事物的抽象概括能力，然后要思考怎么完成，方法可能多种多样，无形中锻炼了思维能力和解决问题的能力。同时，古典概率中大多数问题都与实际联系紧密，而且趣味性的问题很多，所以古典概率学习的过程，在锻炼各方面能力的同时，还能激发学習概率论与数理统计这门课程的兴趣。

参考文献：

[1]杨静.概率论思想的历史演变[D].河北师范大学，2003，6（2）：1.

[2]舒爱莲.古典概率思想的发展过程及要义[J].山东轻工业学院学报，2006，6，20（2）：77-81.

[3]姚孟臣.概率论与数理统计[M].中国人民大学出版社，2016，6：9.