直线参数方程在解析几何中的应用

蔡逸

摘要：解析几何问题中，常常需要求解弦长，特别是需要求解多条弦长的关系，这种题型使用直线的参数方程可大大的简化思维和运算，值得推广。

关键词：参数方程；弦长问题；定点问题

解析几何是高中数学知识中十分重要的部分，由于其能够有效地考查学生的数形结合思想，运算能力，分类讨论，思维深度以及在考场上的应变能力和心理素质等，在历届高考数学试卷中当仁不让的成为了重点和难点。

在解析几何的学习中，我们主要学习了椭圆，双曲线及抛物线为主的圆锥曲线，并且养成了对解析几何大题的一般答题思路：找到共性，设出坐标，将直线方程与曲线方程联立，用韦达定理得出坐标关系，再根据题设进行解答，这种做法虽具有一定的普遍性，但在计算解答的过程中，往往涉及复杂的化简与代换，而在高考紧张的气氛中，一旦算错，很容易满盘皆输，因此在解决直线与曲线之间关系的问题中，找到特殊的解决办法来尽量减少我们的计算量并且提高准确度，对于我们攻克高考压轴题是大有裨益的，同时也可让我们保持良好的心态收获更好的成绩。

一、题型分析：

高考中，解析几何题一般位于倒数第二题的位置，第一问一般是要求曲线方程，离心率或定点坐标等，此问的结论一般作为后面解决问题的依据，难度较小。而在难度加深的第二问中，直线与曲线相结合的问题有，求某点的轨迹，定值问题，最大值最小值等。

下面通过示例来讨论在解析几何运算时，利用直线参数方程来巧解问题并减少计算量。

二、直线参数方程

1、直线参数方程的引入

我们知道直线的点斜式为：

此处 所代表的意义为直线与 轴正半轴夹角的正切值即

不妨改写为 ， 引进参数 而在实际运算中，我们如何引进参数 呢？

实际运算中，常常会出现 三点之间的线段运算，此时不妨将 直线看作数轴， 方向为正方向， 为原点，则设 处参数为 ，则

利用这种思路，我们可以更好的解决线段长之间的计算

[数轴 → “原点”→ 正负 → 线段长]

2、尝试用直线参数方程解决下列问题

例1：平面上动点 到动点 的距离比它到直线 的距离小1

（1）求动点 的轨迹 的方程

（2）过点 作直线与曲线 交于两点 ，与直线 交于点 ，求 的最小值

解析：这里只对第②问进行两种方法的对比，由①得：

方法一：[常规解法]

方法二：参数方程

如图，以 所在直线建立数轴， 为原点， 方向为正方向，数轴与 轴正方向夹角为 ，设数轴上的点参数为 ， 处参数为 ，联立

三、小结

由以上的方法對比可以很明显的看出，在解答一些相对较复杂的解析几何问题时，运用参数方程解题，不仅可以减少我们的计算量，还可以简化我们的解题步骤，让我们在做题时达到事半功倍的效果。

当然，除了参数方程外，还有其他比如斜率问题，共切线问题，二次曲线系等就不一一列举了。