一道基于考查数学建模素养的中考试题演变的赏析

吴小颖

摘 要：数学建模素养已经悄然渗透到初中的教育教学之中，成为中考的新考向，数学建模素养在初中数学教学中考查的层次性也从习题走向考题、从简单走向重构、从解题走向问题、从建模走向创新。

关键词：数学建模素养;试题演变;赏析

“核心素养”的培养已成为当前教育教学的新指向，它不仅是高中教育教学关注的焦点，也悄然渗透到初中的教育教学之中。数学建模做为数学的六大核心素养之一，成为中考的新考向。本文以一道源于课本习题改编的中考试题的演变为例，探析数学建模素养在初中数学教学中考查的层次性，与同仁共赏。

一、从习题走向考题

课本原题：（人教版九上第25页第8题）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长篱笆，怎样围成一个面积为 50m2的矩形场地？

答案解析：

解：设当AD的长为x m时，围成的长方形场地面积为 50m2.

∵ 四边形ABCD是矩形

∴ AD=BC （矩形的对边相等）

∵ AD=BC AD=x m 篱笆长20 m

∴ AB=（20-2x） m ∵ AB=（20-2x） m ，   AD=x m

∴ 长方形场地的面积为 x（20-2x）m2（矩形的面積公式）

∵ 长方形场地的面积为 x（20-2x）m2当AD的长为x m时，围成的矩形场地面积为 50m2

∴ x（20-2x）=50 ∴ x=5m

故当AD的长为5m时，围成的矩形场地的面积为 50m2.

赏析：

本题是数学建模问题。解答此题的关键点在于根据已知条件及矩形的对边相等确定篱笆围成的图形的长和宽，然后结合矩形的面积公式列出方程求解即可.本题旨在让学生初步感受数学建模的意义。

中考演变1：（2010年梅州）如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40m长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆.设矩形的宽为xm，面积为ym2.

写出y与x的函数关系式，并求x的取值范围;

（2）生物园的面积能否达到210m2？说明理由.

答案解析：

解：⑴依题意得：y=（40-2x）x

∴y=-2x 2+40

x的取值范围是0<x<20

⑵当y=210时，由⑴可得，

-2x2+4x=210， 即 x2-2x+105=0

∵a=1，b=-2，c=105， ∴ （-2）-4×1×105﹤0

∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210 m2.

赏析：

本题丰富了课本习题的背景，更加贴近学生的生活，重点考查建模的数学思想及一元二次方程的根的判别式。但本题所涉及的数学建模，更多地是从数学技能和方法层面上来考量，数学建模能力水平还仅要求能在简单并熟悉的情景下，识别出标准模型，直接将现实情景翻译为数学模型，并尝试解决数学问题，属于数学建模的低级层次。

二、从简单走向重构

中考演变2：（2010年鄂州）如图所示，一面利用墙，其余三面用篱笆围成的矩形花圃ABCD的面积为s m2，平行于墙的BC边长为x m

（1）若墙可利用的最大长度为10m， 篱笆长为24 m，且需要在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，当围成的花圃的面积为45m2时，求AB的长。

（2）若墙可利用最大长度为40m，篱笆长77m，中间用n道篱笆隔成小矩形，且当这些小矩形为正方形和BC边长x为正整数时，请直接写出一组满足条件的x、n的值.

答案解析：

解：（1）根据题意，得

X·（24-x）/3=45，解这个方程，得x1=9，x2=15;

∵墙可利用最大长度为10m，而15>10，

∴x=15不合题意，舍去。故x=9.

答：AB边长为9m。

（2）满足条件的x、n 一组值为：x=33，n=2;x=35，n=4;  x=38，n=37均满足条件。

赏析：

本题对课本习题进行了“深加工”，综合性较强，考查了多个知识点。第（1）题要注意检验;第（2）题虽然只要求写出答案，但必须对（1）中的数学模型进行重新建构，要明晰边BC被n道篱笆分成（n+1）等份;当每一个小矩形是正方形时，通过正方形的长、宽相等列出x与n相对应的方程，并找出边长x为正整数且小于可利用最大长度为40m时，x与n所对应的正整数组值等。数学建模站在了“以生为本”的角度上重新审视和理解学生能力，着眼于让学生体会数学的应用价值，培养学生的应用意识。本题数学建模能力水平要求能在情景较为熟悉但较为复杂的非常规问题情景中，与熟悉的模型进行对照，进而转译数学模型，并尝试检验模型的合理性，属于数学建模的中级层次。

三、从解题走向问题

中考演变3：（2018年福建中考改编） 如图，平地上有一段长为a米的墙MN，有人利用墙和竹栅栏围成一个长方形菜园ABCD，其中AD≤MN，长方形菜园的一边靠墙，另外三边一共用了100米竹栅栏.

（1）若a=20，所围成的长方形菜园的面积为450平方米，求所利用墙AD的长;

（2）求长方形菜园ABCD面积的最大值.

答案解析：

解：（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，

根据题意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45，

当x=5时，100﹣2x=90>20，不合题意舍去;

当x=45时，100﹣2x=10，

答：AD的长为10m;

（2）设AD=xm，

∴S=（1/2）x（100﹣x）=﹣（1/2）（x﹣50）2+1250，

当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250;

当0

综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250;当0

赏析：

本题对课本习题进行了建模的拓展，没有给定墙可利用的最大长度值，着重考查了分类讨论a的取值范围，进而改变自变量的取值范围确定函数的最值。所涉及的数学建模落脚点在于问题的解决，它关注问题的求解，更关注数学的本质-----数学模型的建构与优化，它集开放性、实践性、探究性和综合性于一身。本题数学建模能力水平要求能在复杂且较为陌生的情景中，识别合理的现实模型，进而创建数学模型，以解决该数学问题，属于数学建模的较高级层次。

参考文献：

[1]《义务教育数学课程标准（2011年版）》.

[2]《透视课本习题与中考题》（中学生数理化 2011.7-8）作者王云峰.

[3]《注重数学本质，引导素养培养》（福建教育2018.第33期）作者陈燕梅  郑辉龙 .