网格新型考题的归类例析

郭彩庆

摘 要：近几年中考出现的以“网格”为背景的新型题因其具有知识面覆盖广、综合性强、思维含量高等特点，在实际操作中具有很强的发展性和创造性，具体体现在命题形式和解题过程上，对其深入进行分析探讨，探究解题策略很有必要。

关键词：网格新型考题；试题呈现；试题研究；进一步思考

在正方形网格中画出符合条件的点或线，是天津市中考卷第18题的命题点，此类题已历7年，现已成为天津市中考卷的区域亮点.题设有两问，第一问求线段长或角，主要围绕勾股定理展开，比较简单；第二问所涉及的知识面广、思维灵活、难度大，对大多数的考生来讲面临的是一场“挑战”，但若训练有法还是可以战胜的，同时开阔思维，提升素养.

一、试题呈现

题目：如图1，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上.

（1）∠ACB的度数为______；

（2）在如图所示的网格中，P是BC边上任意一点.以点A为中心，取旋转角等于∠BAC，把点P逆时针旋转，点P的对应点为P′.当CP′最短时，试用无刻度的直尺，画出点P′，并简要说明点P′的位置是如何找到的（不要求证明）.

二、试题研究

1.教材背景

人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册习题23.1第1题第（1）小题“任意画一个△ABC，作下列旋转：以点A为旋转中心，把△ABC逆时针旋转40°”，此题是考查旋转的基本作图题，可以借助圆规和量角器完成，作用是巩固旋转的性质.习题23.1第4题“如图2，分别画出△ABC绕点O逆时针旋转90°和180°后的图形”，此题尝试在网格中作旋转，可以将△OAB逆时针旋转90°，找到点A，B的对应点A′，B′，再找到点C的对应点C′，就可以画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形（如图3）.此题用无刻度的直尺就可以完成，其依据是在网格中可以借助全等三角形构造等腰直角三角形.

教材习题3介绍了利用旋转性质作图.由旋转性质，P旋转后应落在BC对应边B'C'上，且AB旋转至AC.这恰好为18题（Ⅱ）问确定B'位置、P'的轨迹积累了作图经验.习题4考查在网格中作△ABC的旋转图形.这与18题（Ⅱ）问仅使用无刻度直尺作图原理一致.同时，18题（Ⅱ）问当CP'最短时，即C1P最短（如图2，C1为边AB上点，且AC1=AC），故（Ⅱ）问也可转化为以A为中心，取旋转角等于∠BAC，将△C1PB旋转至△CP'B'，这与习题4显然同类型，只不过习题4中旋转角为90°和180°，作图思维难度更小，可操作性更强.

2.探解法，变换角度寻路径

题目第（1）小题中，∠ACB=90°.第（2）小题的作法与分析如下.

作法1：取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点D′，E′，连接D′E′交CD于点K；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G；取格点F，连接FG交TC延长线于点P′，则点P′即为所求.

作法2：取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点D′，E′，连接D′E′，取格点I，连接TI交D′E′于点H；取格点M，N，连接MN交BC的延长线于点G；取格点F，延长FG交AH的延长线于点C′；延长TC交C′F于点P′，则点P′即为所求.

作法3：作法同作法2，利用解析式法求解，即在网格中建立平面直角坐标系，通过直线解析式确定特殊点的坐标，使问题方便求解.

作法4：取格点D，E，连接DE交网格线于点K；取格点D′，E′，I，I′，连接D′E′，II′交于点H；取格点M，N，M′，N′，连接MN，M′N′交于点G；取格点F，延长FG交AH的延长线于点C′；延长CK交FG于点P′，则点P′即为所求.

作法5：取格点D，E，连接DE交网格线于点K；取格点D′，E′，I，I′，连接D′E′，II′交于点H；取格点M，N，M′，N′，连接MN，M′N′交于点G；取格点F，延长FG交AH的延长线于点C′；延长AC′交网格线于点F′；连接CK交FG于点P′，则点P′即为所求.

从上述作法不难发现，五种作法的共同点是构造全等三角形或相似三角形，关键是找到判定三角形全等的条件.作法2的思考路径较简捷，说明此题借助几何直观解决更方便些.作法4和作法5在构造两直线平行时，需考虑等角或对应线段成比例，方法巧妙，但不容易发现.这就是网格中存在的隐含条件，需要在网格中发现基本图形，如相似、全等、平行、垂直等.对于作法1和作法2，若能以数思形，借助图形进行直观分析，就可以迅速获得隐含条件，使问题形象、简明地得以解决.

三、进一步思考

1.注重梳理总结，提升识题能力

网格题是近几年的创新题型，对于学生来说求解存在一定的难度，但深入分析可以发现大部分网格题的命制都存在一定的章法，大多还是来源于课本知识，如考题1的垂直平分线的作图以及考题2的新定义抛物线的计数，都是对学生几何性质、定理的考查.因此，在平时的教学中，要引导学生对重点知识进行梳理总结，在掌握基本知识的前提下向知识的综合应

用方向靠拢，对于一些模考题要善于从命题角度、知识内容、解题方式等方面进行分析总结，逐步提升学生的识题能力.

2.开展变式教学，培养创新思维

网格题背后所代表的教学深意是创新，涉及方法创新和思维创新.从创新程度上来看，网格题将平面几何、解析几何和代数运算巧妙地用网格的形式结合起来，求解方法同样是三者的统一.解题思路也应从传统的单一切入，轉化为多角度、多层次、全方位的思考.网格创新题对于学生的分析能力、推理能力、创新能力提出了更高的要求.因此，在教学中有必要在例题和习题的基础上开展变式创新和解法创新，引导学生多角度分析问题，逐步培养其创新意识和创新思维.

3.善于联想迁移，形成转化之法

以图形的性质、判定为依据，对已做过的基本题中所涉及的图形及结论熟记于心，同时以基本图形为起点进行联想，在迁移中逐步转化所求的问题.

据有关文献称，除上海外，中考试卷基本都能落实《义务教育数学课程标准（2011年版）》（下面简称"课标"）的基本要求，但同时也深深打上了区域的烙印，有明显的区域性导向.作为理科试题，区域性导向是否会造成教学的功利性，忽视其他题型对学生的训练作用，以及演变成各个地区命题负责人的个人喜好，我们觉得，命题还是要立足课标，依据课本，关注初中数学核心素养的十大要素（数感、符号意识、空间观念、几何直观、运算能力、推理能力、数据分析观念、模型思想、应用意识、创新意识），从掌握数学基础知识、训练数学基本技能、领悟数学基本思想、积累数学基本活动经验出发，从系统、全面、科学地考查考生的“四基”和“四能”方面去命题.

参考文献：

[1]陈国玉.常见的几类网格问题例析[J].中学数学，2011（4）：33-34.

[2]蔡文娟.初中数学网格问题例析[J].新高考（升学考试），2016（5）.