小学生数感培养的有效途径和策略

冯刚

摘 要：《课程标准》指出：“数感主要是指关于数与数量表示、数量大小比较、数量和运算结果的估计等方面的直观感觉。数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算结果，并对结果的合理性作出解释。”数感作为首要核心素养提出来，在数与代数内容领域，除了让学生掌握基本技能和基础知识外，还要使学生建立数感，发展数感。

关键词：小学生 数感培养 策略和途径

本文中笔者认为：数感是在理解数和数量意义，理解数、数量之间关系的基础上获得对数的大小、数量关系的一种高度省略、简化、浓缩的洞察力，形成的一种自觉或自动化运用数观察描述现实问题、分析问题、解决问题的意识和能力。

如何培养小学生的数感，使其初步形成数感呢？根据学生年龄和心里及其数感发展的规律和小学数学学习内容的特点，通过课题组的实践研究，提出以下四个教学策略培养学生直觉思维，发展学生数感：

一.体验策略

《小学数学新课程标准》指出：“使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、建构数学模型、寻求结果、解决问题的过程。”“数学过程目标使用经历、体验、探索等术语表示。”比如“在现实情境中理解万以内数的意义”“在生活情境中感受大数的意义”“结合具体情境初步认识小数和分数，比较小数的大小，比较同分母分数的大小”“结合具体情境，体会四则运算的意义”“结合具体情境进行估算，并解释估算的过程”“在实际的情境中认识常见的量。”其中“结合具体情境”又是对学习方法的指导，同时也是教师的教学策略的导向。教师创设的问题情境的关键就是让学生“体验”“探究”。

（一）创设情境，使学生在体验中建构数的意义，发展学生数感。

认识数、理解数的意义、感知数的大小、形成数量单位的表象是建立数感的第一步。小学数学学习与实际生活有非常密切的联系，教师要想培养学生的数感，就要从创设教学情境着手，将数学知识、问题与生活情境相结合。一方面，合适的情境利于激发学生的学习兴趣，在兴趣的驱动下主动投入到体验探究活动中去。学生可以透过生活情境增强对数的意义和运算意义的理解以及算理的理解。

如教学9+3=？时，教师创设这样的情境：“一个有10个格子的纸箱里面装着9瓶矿泉水，外面3瓶矿泉水。”学生在观察中得到暗示：将外面的一瓶水拿入纸箱里面不是一眼就看出是12瓶了吗。这样自然感悟到“凑十”这个计算策略。在类似的计算中就会不知不觉应用这一直觉思维。

（二）搭建操作平台，使学生在动手操作、实验的活动中体验建构数的意义。

《新课程标准》指出：“除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式”。另一方面，教师也可以对学生进行引导，使其可以在实践操作过程中积累感悟，使学生在认识数的学习活动过程中建立数感。

如在教学《认识几分之一》这一内容时，在学生初步理解1/2让学生通过在画一画，涂一涂，折一折等操作活动表示出1/4、1/8等分数，学生在动手的过程中动眼动脑，多种感官投入学习活动，促进学生对“一个整体”、“平均分”“其中一份”等关键描述的理解，有效认识了几分之一的含义，初步感知了几分之一的大小。

（三）在综合实践中体验，增强数感。

“综合与实践”内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识和方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。利用教材中的综合实践内容或者教师创设综合实践学习内容，可以帮助学生增强数感。如设计综合实践：如果我国每人每天浪费一粒米，全国每天大约浪费多少吨米？相当于多少（举例说明）？这些米可以养活多少个三口之家（一个三口之家日均2千克算）？在这个实践活动中，学生首先要去想法知道一粒米的質量或者单位质量里面有多少粒米，要去动手实验得出一个标准，然后进一步计算、换算，把得出的结果与实物进行比较，与其作用进行比较。在活动中，学生得出的结论有26吨，31吨，33吨等，如果取中以30来算，大约可以养活15000个三口之家！这样的学习活动帮助学生感悟较大数的大小，感悟常见量的大小，可以有效的帮助学生增强数感。

二.交流策略

《标准》指出“合作交流是学生学习数学的重要方式。”“经历与他人交流各自算法的过程。”“能运用数及数的运算解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义做出解释。”相对于学生的体验学习来说，每个不同个体在体验中获得的经验、感受是不一样的，认识学习对象的程度也不一样，所形成的结果的正确性也不尽相同。因此，在自主学习，个体体验的基础上充分交流也很重要。这样能使学生由个性的认识发展到共性的、全面的、较为深刻的理解认知。

（一）在教学中要教会学生数学表达，促进生生交流，师生交流的简洁有效。在展示学生自主探究所获的时候，教师要关注学生的生成，注意按照一个由直观到抽象或者由错误到正确的引导学生进行展示交流。

如老师在教学数学广角中的内容“找次品”引导学生把在8个被测品中找次品的过程表达为：按直观画图.语言描述，数字表达依次让学生进行交流，让学生在交流比较中发现数字交流表达（1）（332）；（2）（111）。这样的表达交流既利于数学眼光看问题的培养，又简洁明了，利于培养学生的数感。

（二）在教学中引导学生交流积累、更新经验，加深认识，优化方法。小学生思维比较标新立异，在计算时往往会使用一些比较个性的算法，虽然这和传统算法不同，但是教师也要尊重学生个性化的算法，多多启发学生，要使用多样化算法进行计算，并引导学生进行交流，在个性算法的基础上优化算法。这样才能激发学生在计算中去思考、感悟，发展学生的数感。

如在教学14×12=时，让学生利用点子图（横排14点，竖列12点），通过数、想、圈、算等活动沟通利用两位数乘一位数的的计算，个性化的计算14×12的积。（利用点子图启发学生自主计算，使学生在探究活动中自然把要探究的计算转化成了所学知识。）在学生自主尝试后出现了14×4×3、14×3×4、14×6×2、14×2×6、14×10+14×2、14×9+14×3……等多种个性化的算法。教师组织学生反馈交流：这些算法有什么共同的地方？学生通过交流发现这些方法都是先分开算，再合起来得到结果。师：哪种方法明显的与其它方法不一样呢？生发现14×10+14×2的计算在分算时和其它算法不一样，师：能把这种算法用竖式表达出来吗？这样学生进一步探究竖式计算就是在初步理解算理的基础上进行了，算理的内化促进了算法的形成，使学生在个性体验的算法得到提升和优化，在体验、交流的学习过程中，基本技能和数感得到培养。

三.关联策略

《标准》指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有知识经验的基础上。”教师在教学中要善于沟通新旧知识之间的联系，同类知识之间的联系或不同类知识之间的联系。

（一）沟通数与数、数与运算之间的联系

小学数学所有知识有非常密切的联系，例如数字内部结构关系、数与数之间的联系、数与运算之间的联系。教师在教学设计中要善于引导学生建立相关知识之间的联系。

比如学生在比较18/19与15/16的大小时，一般会想到通分比较大小，在通分的过程中就会有系列的乘法计算。如果让学生仔细观察两个分数有什么特点，他们会发现这两个分数都很接近1，这就把这两个分数与1建立了联系，学生发现18/19更接近1，从而判断出18/19<15/16。又比如比较8/15和3/7的大小，如果让学生把这两个分数与1/2建立联系，则会直观的看出8/15<3/7。

（二）沟通数与形的联系

百度百科这样描述数形结合：数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系联系起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。著名数学家华罗庚教授以一诗强调其重要性：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，割裂分家万事非。”几何直观能帮助学生建立学生对数、数量关系的直觉思维，而这种直觉思维可以帮助学生形成良好的数感。因此，我们在教学中充分利用几何直观，数形结合来培养学生数感。

比如在分数的认识教学中，我们往往会通过图形、线段、数轴等来表示分数，帮助学生理解分数的意义，体会分数之间的大小关系。

如计算“1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+……1/n”在这个分数加法计算中如果学生用通分的法则来计算是无法进行的，在教学中，让学生根据数的特点来猜一猜，数感较强的学生会猜到结果可能是1，但是解释不了为什么会是1。此时在猜一猜的基础上以直观图形来帮助学生验证，学生通过观察就会发现一直这样加下去，结果就是无限接近1，同时体会到数学当中的极限思想。

在教学中，老师适时运用数形结合启发引导学生学习新知、解决问题，能有效培育学生的直觉思维，帮助学生形成良好的数感，激发学生的创造力。

（三）沟通乘法结构关系

在小学阶段的数学学习中的乘法结构知识包括因数、倍数、比、一个数的几倍、一个数的几分之几（百分之几）等等。包括用到乘法和除法进行计算的问题。

引导学生将小数、分数计算与解决问题和整数的计算与解决问题联系，体会这两种基本结构在各个知识点的贯穿，能极大限度的提高学生对实际问题中数量关系的把握，有效提高学生解决问题的能力，达到培养发展学生数感的教学目的。比如在乘法结构中一个数的几倍、一个数的几分之几、一个数的百分之几等，其本质都是一样的，都属于倍数问题。现在的教材编排也着力与沟通它们之间的联系。如，六年级教材中在教学一个量的几分之几是多少的问题时，设置了这样的情境：一桶水12升，4桶水有多少升？3桶水有多少升？ 1/3桶有多少升？这个问题情境就是要让学生明白求一个数的几分之几是多少和求一个数的几倍的实质是一样的。要用这个数乘以相应的分数（分率或倍数）。

（四）沟通精算与估算

不管是精确计算还是估算，最終都是要利用计算解决问题。精确计算与估算是密不可分的。估算可也确定精算结果的范围区间，初步判断计算结果的正确性。特别是在整数除法中，估算是精算的基础。比如除数是两位数的除法，学生怎样能快速的试商，这就需要学生有较强的估算能力，在估算的基础上来试商。有的学生做除法计算的速度较快，通过研究发现，除法计算快的学生多半利用估算试商，他们在用估算求出第一位商以后，之后的试商会根据被除数的变化幅度去试商，而不是单一的估算试商，而是关注了前面试商中的被除数与除数，直观感知去试商，这样，极大程度上提升了学生对数字的敏感性。有利于学生数感水平的提高。

四、运用策略

培养学生数感的终极目的是为了提升学生对数字的敏感性，激活学生的思维，用数学的眼光去发现问题，分析问题，解决问题和交流表达。利用数感帮助学生解决实际问题，使学生在运用数感解决问题的过程中强化数感。

（一）利用对数量关系的敏锐洞察力解决问题。

在很多问题情境中，会出较多现数据信息，如果按常规的思维去解决问题，可能会牵涉到复杂的数量关系或者较为复杂的计算。但是数感较好的同学往往能根据数据信息，在几个数量之间的关系中发现最简单本质的数量关系，通过极其简洁的算式解决问题。比如：

“修筑一条水渠，4天已经修了这条水渠的8/15。照这样计算，修完这条水渠共需要多少天？”一般的解决方法是1除以8/15除以4的商，但也有学生用4除以8/15，看似不符合数量关系，学生这样说：4天完成了这项工程的十五分之八，说明用的时间也占到全部时间的十五分之八，所以可以这样计算。这样的例子比较多。所以我们在教学中要关注学生在解决问题过程中学生对数量之间关系敏锐洞察力，充分利用，通过交流比较辐射到其他同学，提升多数孩子对数量关系的敏感性，培养学生的数感，体会到良好数感在解决实际问题中的作用，强化数感。

（二）利用相关量的相对大小导向解决问题和解释结果的合理性。如解决问题：“客车与货车的速度比是7：4，两车同时从两地出发，相向而行，在离中点18千米处相遇，这时客车行了多少千米？”这一问题看似信息不多，比较简单，实际学生解答存在困难，其主要原因是只有一个具体数量，甲乙的速度都不知道，只有一个速度比。但是解决这一问题的策略较多。如果学生根据速度比感知到客车所行的路程较多，并且行完全程是客车行了7份，而货车行了4份，是超过中点18km厚和货车相遇，就会知道客车比货车多行了18×2㎞，就会用算式18×2÷（7-4）×7算出相遇时客车所行路程。

如果学生根据速度比感知到客车所行的路程是货车的7/4倍，则可以用方程（7/4）x-x=18×2来解决问题。

如解决问题：“已知甲完成一项工作需要3小时，乙完成同一项工作需要4小时。那么甲乙的功效之比为（）：（）。”在解决这一问题时，学生一般这样思考：甲的功效是三分之一，乙的功效是四分之一，然后功效比化简为4：3。另外却有学生这样认为，甲乙时间比为：3：4，工作总量一定，时间比和功效比刚好相反，所以是4：3。

在解决问题的教学中，我们要关注培养学生感知问题中相关数量的相对大小。引导这部分学生将自己如何思维过程分享给其它同学，促进学习群体的数感发展。

（三）利用分数、百分数、比、除法等之间的联系解决问题。如在解决问题：“六年级三个班植树，任务分配是：甲班要植数总棵数的40%，乙，丙两班植数的棵数的比是4：3，当甲班植数200棵数的2/7。丙班植数多少棵？”学生在理解4：3的时候就要知道丙占乙.丙之和的3/7。

如在解决问题“一个三角形的三个内角之比为2：3：5，这个三角形是（）三角形。”一般都会这样解决：按比例分配算出最大角是90°，从而判断出这个三角形是直角三角形。也有学生一眼看出是直角三角形，理由就是2+3=5，说明最大角刚好占到内角和的一半，所以这个三角形是直角三角形。在解决这个问题时，学生根据已知比，简单而直观的看到了两角和等于第三角，从而判断这个三角形是直角三角形。

要让学生在解决问题中自然的快速联想到有价值的数或式，需要我们有意识的训练，才能促进学生的这一直观感知能力。这样有益解决问题的联想训练，主要通过发散式的训练。如（1）：甲数是乙数的3/4。可以联想到哪些问题和数字？（2）一件商品七五折，你会想到哪些相关问题和数据？

上述四个教学策略都是需要在教学过程中来实施。首先作为教师在教学中除了达成一些其它显性目标外，还要有结合适当的教学内容培养学生数感这一目标，结合以上四方面的策略，引导启发学生在经历观察、实验、计算、推理、验证等学习活动中思考、体验、感悟，在重结果的同时更注重学习过程，达到培养学生的数学素养----数感的目的。

参考文献：

【1】钱立凯，杜先存.小学生数感培养的高效策略[J].数学学习与研究，2015（16）：64-65.

【2】饒建华.新课程理念下小学生数感培养策略探析[J].西部素质教育，2015，1（11）：106-106.