用切线法证明一类不等式

摘  要：本文首先在两种情况下用切线法证明形如且满足的对称不等式，构造在均值点处的切线，用来近似在处的值;然后通过举例可知用切线法证明该类不等式是比较有效的.

关键词：不等式;切线法;对称性

1引言

不等式与函数是两个重要的工具，二者有着紧密联系.在数学思想方法中，常见的用来证明不等式的有很多，例如构造函数法，构造向量法，构造对偶式法，增量代换法，均值不等式法等.本文用切线法来处理不等式问题，借助函数的图像，利用数形结合思想，往往能收到意想不到的效果.

2 用切线法证明一类不等式

下面重点研究用直接法和间接法来证明不等式.通过具体实例，展现切线法证明不等式的灵活和简便.为今后的一类不等式的证明打开思路，另辟新径.

2.1直接使用切线方法证明一类不等式

首先从求一个函数的最小值出发，给出用切线法证明一类特殊不等式的基本思想.

例1 均是正实数，且，

求三元函数的最小值，并给出证明.（03湖南省数学竞赛题）[1]

解：设.

则在處的切线方程为.

首先证明，，     （1）

即证   

此式显然成立.

同理有                       （2）

                               （3）

式相加得，当且仅当时，

这里，我们考虑与有什么关系？研究函数的性质不难发现直线是函数在处的切线，且位于圖像的下侧，故在附近可用来近似估计.

例2 设且

证明：（05第八届香港奥数）[1]

证明：设

原不等式即为其中且.

因为在处的切线为

下面证明，

即证        

上式顯然成立.

所以

故

原不等式得证.

通过例2的证明，我们……