浅析不等式在高中数学解题中的运用

刘波

摘 要：以现在国家大力推广的教育改革为背景，下文对高中阶段的数学进行解题时，不等式实际使用到最值、极值、线性规划以及绝对值这几类问题的解题当中，以人教版高中数学阶段中具体的实例为依据，对其具体的解题思路以及过程进行了论述。

关键词：不等式;高中数学;解题;运用

引言：不等式在对高中阶段数学知识进行解题时，发挥着承上启下这一作用。不仅能够将其应用到对合集以及函数等这类数学知识的解决中，另外，还为同学们提升解答数学问题的能力打下了基础。对于即将应对高考的同学来讲，对于不等式相关知识进行学习并灵活应用，能够让其考试成绩实现大幅度提升。

一、借助于不等式，解答高中数学中的最值问题

在高考中，最值属于数学当中的一个必考知识点，几乎在高中阶段数学知识的所有模块中都能看到其身影。另外，这也是现在高中同学们一定要拥有的一类解题能力。现在，借助不等式求解的方式，对数学中的最值问题进行解答属于一类频繁使用的方法，可是，在对一些数学问题进行解答时，不能直接对相关的公式进行套用，一定要合理地对其实施添加因式或是拆项，最终高效地对最值问题进行解答。

例如，在对“若实数x，y满足∣x∣≤y≤1，则x2+y2+2x的最小值为（）”这一题目进行解答时。

1.分析解题思路：将可行域做出来→将题目转变成“距离类型的问题”→通过使用属性结合的方式，得出最终答案。

2.具体解题步骤：将∣x∣≤y≤1代表的可行域做出来，如下图1.

x2+y2+2x=（x+1）2+y2表示上图1可行域当中的点（x，y）到达点（-1，0）距离的平方值，从上图1当中能够直观地了解到，x2+y2+2x的最小值是2=，由此可得，x2+y2+2x的最小值是-1=-。

二、借助于不等式，解答高中数学中的取值问题

高中数学中，参数问题的解答是让同学们最为头痛的。平时，在实际开展教学工作期间，数学教师普遍会借助函数以及导数等方式对高中数学中的参数取值问题进行解答，可是，这几类解题方法在实际进行计算时，会频繁出现一部分错误，所以，要借助不等式解答参数的取值，让同学们的学习难度减小，让其计算能力得到进一步的提高[1]。

例如，在对“若正数m，n满足m+n+3=mn，此时，不等式（m+n）2+2x+mn-13≥0恒成立，此时，实数x的取值范围是（ ）”这一题目进行解答时。

1.分析解题思路：令m+n=a，可推导得出mn=a+3→即m，n是x2-ax+a-3=0的两个正实根→计算得出a的取值范围→由题目已知条件可知：（m+n）2+2x+mn-13≥0此不等式恒成立，将其转变为a2+2x+a-10≥0在a≥6的时候恒成立→将x的取值范围通过计算得出。

2.具体解题步骤：

令m+n=a，则mn=a+3，

故m，n是方程x2-ax+a-3=0的两个正实根，

求得a≥6，将原不等式（m+n）2+2x+mn-13≥0恒成立a2+2x+a-10≥0在a≥6的时候恒成立。

即函数f（a）=a（x2+1）+2x-10≥0在a∈[6，+∞）时恒成立。

f（6）=6（x2+1）+2x-10≥0x≥或x<-1，

∴原不等式的取值范围是（-∞，-1]∪[，+∞）

三、借助于不等式，解答高中数学中的绝对值问题

对于高中阶段数学当中的绝对值进行解答时，对于不等式这一方式的实际使用相对宽泛，以高考的命题角度来讲，存在绝对值的不等式属于命题过程中的一项重要资源，另外，这部分解题内容还是高中阶段的同学们一定要掌握的知识点。对于绝对值不等式进行解答的方式众多，例如借助相关公式进行解题的方式、作商进行解题的方式、作差进行解题的方式、数相结合的解题方式以及分类进行讨论的解题方式等等，对于绝对值不等式进行解答时，重点是借助准确的解题方式，将题目当中包含的绝对值符号剔除掉，把题目转变成不存在绝对值的不等式，最终实现对绝对值不等式类型的题目进行解答[2]。

例如，在对“若00且a≠1，则|㏒a（1-x）∣与∣㏒a（1+x）∣的大小关系是（）”这一题目进行解答时。

具体解题步骤：

1.作差法解题步骤：

∵0

∴0<1-x<1，0<1-x2<1，1<1+x<2.

∴lg（1-x）<0，lg（1-x2）<0，lg（1+x）>0，

∴∣㏒a（1-x）∣-∣㏒a（1+x）∣

=∣∣-∣∣

=

=，

∴∣㏒a（1-x）∣>∣㏒a（1+x）∣

希望通过上述几个例题的解答，能够让同学们进一步了解不等式在高中阶段数学中的重要性，為其实际解题提供一定的帮助。

结束语

根据上文所讲，在实际对高中阶段的数学题目进行解答时，数学教师要最大限度地对不等式进行使用，知道同学们灵活地借助于数学方面的解题方式，对实际存在的问题进行解答，让同学们自身对数学问题进行解答的能力得到提升的同时，还能够推动同学们更为优质地对数学领域的相关知识进行解答。