考虑中断风险的备件供应选址- 分配优化模型

王亚东， 石全， 陈材， 尤志锋

(陆军工程大学石家庄校区 装备指挥与管理系， 河北 石家庄 050003)

0 引言

中断风险是备件供应保障需要考虑的主要不确定因素，在战时条件下尤为突出。由于受到自然因素和敌方蓄意攻击的影响，部分仓库或运输载体将丧失全部或部分储存和运输能力，备件供应系统可能发生中断。由于中断事件的突发性和复杂性，供应中断的发生时机、发生概率以及造成的后果都是不可预测和深度不确定的。战时条件下备件供应保障的时效性和可靠性通常比平时要求更高。如何提高备件供应网络的柔性和鲁棒性，加强抵御中断风险的能力以及中断发生后的应急响应能力，是战时备件供应亟待解决的重点和难点问题。

目前关于供应链中断风险的研究中，部分学者将重点放在网络结构的优化设计上，以此来增强供应网络的稳定性。Ivanov等[1]综述了产品中断、供应商中断和运输中断等情况，并详细分析了不同中断对供应链造成的影响。Zhao等[2]研究了供应网络在中断时的稳健性，建立了一个决策支持系统，用于在各种中断情景中调整供应链网络的拓扑结构，从而主动管理供应链网络。李锐等[3]研究了考虑蓄意攻击中断时多周期环境下的第三方物流可靠性网络设计问题。Hatefi等[4]同时考虑了不确定参数和设施的中断情况，提出一个综合稳健可靠的正逆向物流网络模型。秦晓燕等[5]为应对灾后救援中的点失效和弧失效供应中断情况，通过建立双向互调的血液供应网络来有效降低响应时间和应急成本，缓解过期报废压力。另一部分学者重点研究中断发生后的应对措施，结合提前设置想定来提高供应网络的应急处理能力。Pariazar等[6]分析了供应链中不同的中断情景，构建了多目标随机规划模型，以确定最佳供应商选择和检查策略，减轻中断对供应可用性和质量的影响。Li等[7]研究了采取加固防护措施时供应链中断情况的设施选址问题。Qin等[8]提出了设防设施选址、应急库存预定位策略和应急运输分配相结合的风险缓解措施。除此之外还有一部分学者将供应中断风险转化为不确定性参数，继而利用随机规划、模糊理论以及鲁棒优化等方法进行处理。Pavlov等[9]用混合模糊概率方法描述供应链中断风险，增强了中断供应的弹性并识别出对供应链运作起关键作用的节点。Shukla等[10]在网络中断情况下，采用情景规划方法建立了最优整数线性规划模型，其目标是最大限度地提高效率和可靠性。Cheng等[11]在研究3级物流网络可靠性设计时，在未知中断概率情况下，用不确定性集来描述可能的情况，进而构建了2阶段鲁棒优化模型。

上述大部分文献只单独考虑了中断风险下的分配、设施选址或者最短路径问题，很少有文献研究联合优化问题。另一方面，大部分文献考虑平时供应网络优化，仅以成本最小为优化目标。战时备件供应还要兼顾时效性，属于多目标优化问题。此外，在将中断风险转化为不确定参数时，大多假设其服从某一分布，进而采用随机规划的方法求解，这与实际不尽相符。而鲁棒优化不需要提前知道不确定参数的分布规律。因此，本文考虑战时备件供应中断风险，以备件供应成本最小和供应延迟时间最短为目标，对设施选址和分配问题进行联合优化；利用鲁棒优化解决中断风险的深度不确定性，建立风险不确定情况下的多目标鲁棒优化。

1 中断风险确定情况下的优化模型

1.1 问题描述

战时备件供应保障容易受到敌袭干扰，供应路线可能存在中断风险。若仓库设置距离作战前线太近，则很容易成为攻击目标，若距离前线过远又不能保证供应效率。因此，通过在后方仓库和作战单位之间开设野战仓库来解决以上矛盾。此时，构成了3级备件供应网络。第1层为基地级后方仓库，作为备件的供应点，通常距离前线较远，不考虑中断风险；第2层设置野战仓库，备件由后方仓库运输至野战仓库，再由野战仓库向前线作战单位进行中转；第3层为作战单位，是备件需求产生的主体。本文考虑的中断风险发生在野战仓库。当某一野战仓库完全失去供应能力后，其对应作战单位的备件由其他野战仓库作为备用点进行供应。为保证备件顺利运至作战单位，避免所有野战仓库同时瘫痪的情况发生，通常需对部分野战仓库进行加固、隐蔽等防护措施。考虑到加固成本，野战仓库是否需要加固还与中断风险的大小以及供应网络其他要素相关。因此本模型主要解决从所有野战仓库中选择关键野战仓库进行加固防护，以及求解由后方仓库向各开放野战仓库的备件供应量，最终以最低的成本和最短的时间完成备件支援保障，属于选址- 分配联合优化问题。

本文备件供应优化模型建立在以下假设之上：1)以单种关键备件供应为例；2)暂不考虑各级节点之间存在横向转运的情况；3)供应网络中，各节点位置已知；后方仓库到野战仓库、野战仓库到作战单位的单位备件供应时间和单位运输成本已知，且为定值；4)野战仓库有一定概率受损，受损后仓库失去库存和供应能力。某一野战的仓库受损后由其他备用仓库代替完成中转任务；5)进行加固防护措施后的仓库将不受敌袭干扰，或受袭后仍保持正常中转功能；6)各备选野战仓库的开放成本、加固成本、库存成本和最大库存容量已知，且为定值。

1.2 模型构建

目标函数1表示备件供应的总成本C应最小。供应成本包括被选野战仓库的开放成本、野战仓库的加固成本、备件在野战仓库的库存成本以及备件由后方仓库向野战仓库、由野战仓库向作战单位的运输成本。目标函数1考虑了野战仓库发生中断的可能，其计算公式为

(1)

目标函数2要求备件供应的延迟时间T最短，即最短时间内完成备件保障任务，其计算公式为

(2)

该模型满足以下约束：

(3)

(4)

Zjk0+Zjk1≤Xj,

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Xj,Yj∈{0,1},∀j∈J,

(10)

Zjk0,Zjk1∈{0,1},

(11)

wij∈N+,

(12)

其中：(3)式规定了一个作战单位有且只有一个主野战仓库为其提供备件；(4)式规定了当作战单位的主野战仓库发生中断时，由另一个备用野战仓库对其实施备件供应；(5)式表示对于一个开放的野战仓库，不能同时作为某个作战单位的主备件供应来源和备用供应来源；(6)式表示经过加固防护的野战仓库数量应不超过开放的野战仓库数量；(7)式表示后方仓库只能向开放的野战仓库提供备件；(8)式规定了对于一个开放的野战仓库，其备件输入量不能超过最大库存容量，vj为第j个野战仓库的最大库存容量；(9)式为流量平衡约束，即对于开放的野战仓库，其备件输出量不得超过输入的备件量；(10)式～(12)式规定了决策变量的类型和取值范围。

2 中断风险深度不确定情况下的优化模型

目前关于供应链中断风险的测算方法主要有基于评估和基于仿真2种[12-13]。由于在战时备件保障中很难提前得到中断风险的精确数值或分布规律，因此中断风险概率为深度不确定参数。通常通过采用仿真或评估的方法，将野战仓库的中断风险限定在一定范围之内[14-15]。而鲁棒优化模型是从这一范围内“最坏”情况下的可行解中找到最优解。

不失一般性，鲁棒优化的基本形式为

minCX，
s.t.AX≤b;
l≤x≤u.

(13)

式中：C为目标函数的系数矩阵；X为决策变量矩阵；A为约束的系数矩阵，b为常数项列向量，在矩阵A和向量b中包含不确定参数，令U为这些不确定参数构成的集合；x为决策变量中的元素；l为决策变量的下限；u为决策变量的上线。目标函数系数矩阵C中的不确定参数可由以下公式转化到约束中：

minCX, mint,
s.t.l≤x≤u⟹s.t.CX≤t;
l≤x≤u,t∈R.

式中：t为新增的辅助变量；R为实数集合。

则本文中断风险中η的不确定集合表示为

该不确定性集合为多面体形。

模型(13)式可以转换为以下鲁棒等价形式[17]：

(14)

(15)

为解决最大和最小优化问题，根据强对偶定理，可通过求(15)式的对偶问题将其转化为最小和最小问题，有

(16)

式中：Pij为风险；zi为对偶变换产生的辅助变量。

因此模型(14)式的最终鲁棒优化模型为

(17)

式中：Γi为对偶变换产生的辅助变量。

(18)

式中：c为适应度函数。

其鲁棒等价形式为

(19)

式中：

(20)

式中：

(21)

式中：

用(19)式和(20)替换原模型的目标函数(1)式和目标函数(2)式，用(21)式替换约束(9)式，即得到中断风险不确定情况下的多目标鲁棒优化模型。

3 算例分析

3.1 任务想定

某作战任务下的3级供应网络由2个后方仓库、4个野战仓库备选点以及8个作战单位组成。以某种关键备件为例，根据作战单位的抢修任务产生的需求，由后方仓库经野战仓库中转向作战单位提供备件支援保障。由于战争条件下，野战仓库同样会成为敌人攻击的目标，具有一定的中断风险。为保证供应通畅，对部分关键野战仓库进行加固防护，经过防护措施后野战仓库遭受敌袭的概率以及敌袭后的损失会大大减小。在备件需求以及供应网络节点信息已知、中断风险为深度不确定情况下，制定最优的选址和分配方案。备件供应网络中的相关信息如表1～表4所示。

表1 野战仓库相关参数

表2 作战单位备件需求量

表3 节点间单位备件运输成本Tab.3 Transport cost of spare parts between nodes 元

表4 节点间运输时间

3.2 求解算法

备件供应联合优化模型为多目标优化模型，不失一般性，求最小值的多目标优化问题的定义如下：

miny=f(x)=[f1(x),f2(x),…,fm(x)]，
s.t.gi(x)≤0,i=1,…,p;
hi(x)=0,j=1,…,q.

(22)

式中：m为目标函数个数；x=(x1,x2,…,xD)∈D是解向量，D为决策空间；f=(f1,f2,…,fm)∈Y是目标向量，Y是目标空间；g和h分别为模型的不等式和等式约束；p、q分别为不等式和等式约束的个数。在多目标问题中，各个目标函数之间通常是相互冲突的，通常不可能找到一个解可以使得所有目标均取得最优，因此采用Pareto最优的概念来衡量解的优劣性。Pareto的相关概念[18]如下：

1)Pareto支配：对于两个解向量x1和x2，当满足所有的目标函数均有f(x1)≤f(x2)，且至少存在一个目标函数满足f(x1)

2)Pareto最优解：若某个解向量x*不存在x∈D:xx*，则称该解向量为Pareto最优解或非支配解。由x*构成的集合称为最优解集或非支配解集。

3)Pareto前沿：由非支配解集对应的目标函数构成的最优面被称为Pareto最优前沿(PF)。

由于本文建立的多目标鲁棒优化为NP难题，采用元启发式算法对模型进行求解。本文在platEMO框架上分别采用改进的非支配排序遗传算法(NSGA-II)、多目标粒子群优化(MOPSO)算法和基于分解的多目标进化算法(MOEA/D)求模型的最优解集[19]。实验在Windows 7操作系统上采用数值软件MATLAB 2014b进行编程，平台为个人笔记本(Intel Core i5-6300HQ (2.3 GHz/L3) CPU和4.00 GB RAM)。

3.3 结果分析

经过计算，得到3种算法下的非支配解集以及最终的最优解集，如图1所示。各离散点为一个供应方案(包含80个决策变量)的适应度值在目标空间的分布。NSGA-II、MOPSO、MOEA/D分别表示各算法下独立运行30次后得到的非支配解集。最优解表示综合3种算法结果求得的非支配解。可以看出最终求得了32个非支配解，即32个最优供应方案，每个方案均互不支配。

图1 各算法求得的非支配解集分布情况Fig.1 Distribution of non-dominate solution sets of 3 algorithms

为分析模型的鲁棒性，分别取各野战仓库中断风险的名义值、平均值和最大值，构建3种风险确定情况下的优化模型。同将鲁棒优化的所有最优解代入风险确定的优化模型中，计算确定性模型的约束和目标值，其供应成本和延迟时间的均值如表5所示。由表5可见，鲁棒优化的最优解在不同确定性模型中均为可行解，表明鲁棒优化的最优解可以满足各种情况下的解可行性，体现了模型具有很好的鲁棒性。同时，鲁棒优化模型的备件供应延迟时间T和总成本C均大于确定性模型的结果，体现了鲁棒优化的保守性。

表5 鲁棒最优解在确定性模型中的可行性

图2 中断风险对供应成本与供应延迟时间的影响Fig.2 Effect of disruption risk on supply cost and lead time

为进一步研究加固防护策略对备件供应的影响，对比未考虑加固措施的优化模型，即Yj=0时的情况。两种情况下的备件供应成本和供应时间如图3所示。由图3可以看出，当不考虑加固防护措施时，野战仓库发生中断的概率更高。为保证供应顺利进行，对于每个作战单位须启用更多的备用野战仓库，因此在备选野战仓库中要开放更多的野战仓库，从而造成供应成本与供应时间的增加。因此通过对关键野战仓库的加固防护，将在很大程度上提高整个备件供应网络的可靠性和供应效率。

图3 加固措施对供应成本和延迟时间的影响Fig.3 Effect of reinforcement measures on supply cost and lead time

4 结论

本文考虑存在中断风险时的备件供应选址- 分配联合优化问题，同时以备件供应成本最小和延迟时间最短为目标建立了多目标优化模型。由于未知风险概率及其分布规律，针对中断风险的深度不确定性构建了相应的鲁棒优化模型。采用多目标进化算法求解所构建的模型，得到最优解集。通过算例分析可知，鲁棒优化模型的最优解能够保证最坏情况下解的可行性，即在供应成本最小和延迟时间最短的前提下保证了所有中断风险下备件供应的顺利实施。同时，模型能够从所有备选野战仓库中找出关键仓库，通过对选中的关键野战仓库进行加固防护可以有效降低中断风险对整个供应网络的影响。研究结论对战时中断风险不确定情况下备件供应提供了一定的决策依据和支持。