入乎其内，出乎其外

林生

王国维的《人间词话》说：诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外. 入乎其内，故能写之. 出乎其外，故能观之.入乎其内，故有生气. 出乎其外，故有高致. 诗人写诗作赋如此，我们对数学高考题的研究与学习与之也有异曲同工之处. 入乎其内，就是不能只是就题论题、表面解决，停留在该道题目的解法上，而是要对高考题进行深入分析，找到解题的思路和突破口，找到多种解题思路和方法，从而得到这类题的常规解法，接着找出其共性的知识和通性通法，对其通法深度挖掘和提炼反思;出乎其外，就是要分析历年高考题，通过对真题的纵横分析以及对其内在联系的研究，找它的“前世今生”，找到其“源”与“流”，从而找到命题的趋势，同时对此基本类型进行变式拓展，让考生从题中悟“道”，从而举一反三，开启思维，纵横联系、触类旁通，再加强训练，实现“通一明百”，从而实现优效备考. 下面结合今年全国Ⅰ卷文科数学高考题的第20题来分析，通过对本题来实现对导数大题“入乎其内”和“出乎其外”，另外还对函数与导数中的常规题型及常用到的一些解题方法和技巧来进行举例分析、变式和总结归纳，让考生真正掌握处理函数与导数问题的实质，熟练运用其技巧，从而掌握这一类题型的基本方法和技巧，最终得出2020年高考函数与导数发展的趋势，探窥出函数与导数大题优效备考的策略.

一、真题回放  入乎其内

三、出乎其外  觅悟“考道”

俗话说：“经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另一只眼睛看到纸的背面.”作为备考2020年高考的考生，同样也要一只眼睛看到高考题，另一只眼睛看到背面，要出乎其外，觅悟“考道”，这样才能优效地备考. 综合来看：今年的高考题其实是考查学生数学素养的一大尝试，虽然和平时的“不大一样”，但是根据往年全国卷的分析及考试说明可知：考纲中明确提出掌握导数在函数中的应用，特别是单调性、最值等方面，要求掌握单调性和最值这些基础知识，但往往又涉及到考查分类讨论、转化与化归、函数与方程等數学思想. 因此，我们在2020年备考时要突出利用导数这个工具，学会利用导数这个工具来解决问题，同时还要对构造函数、高等数学等方面进行恰当的研究和分析，要注重各类交汇知识的综合，还要主动探寻相关知识的变通和不同知识的交汇，找到其“源”与“流”，觅悟出“备考之道”，因此我们要实现优效备考时要做好以下几个方面：

（1）切实回归基础是“正道”，注重通性通法为“上上策”

通过今年的高考题的题目分析可知：虽然这次导数大题和往年的“面目全非”，加上这次位置往前移，但是本质却没有改变，都是考查基本的知识，注重的是通性通法，因此可知命题者的指向——回归教材、注重通性通法. 因此在以后的备考中一定要重视基础知识，要注重通性通法，但在现实的教学和训练中恰恰是大搞“题海”战术，盲目加大数学训练，往往忽视回归教材、对基本的通性通法的训练.这种舍本逐末的做法导致了很多考生在今年高考吃了大亏，所谓的回归教材，即对课本中的概念、定义、定理、法则、公式必须记熟、理解;对数学语言（文字语言、图形语言、符号语言）要准确表达与运用;重视公式的正用、逆用和活用，重视定理的推导，要理清知识发生的本原（如公式的推导过程等），还要注意从学科整体意义上建构知识网络，形成完整的知识体系，掌握知识之间内在联系与规律，要学会多总结归纳，比如总结导数的常规题型有：①利用导数研究函数的单调性、单调区间以及已知函数的单调性，确定函数中的参变量变化范围等问题;②求函数极值（点）、最值或已知极值（点）、最值求参数的取值范围;③证明不等式恒成立或已知不等式恒成立求参数的取值范围;④另外，利用导数研究三次函数，分式函数，指对函数的其它性质问题，方程根与函数零点问题，利用导数的几何意义处理曲线的切线问题;利用导数解决实际问题中的最优化问题，这些也是高考经常涉及的地方. 那么，对于这些常规题型我们要让学生学会用整体的观点要将有关知识有机地串联起来，形成知识之间的有机联系，用结构性的观念整体把握，充分地利用导数这个“工具”来解决问题，让考生在学习中真正地理解和运用. 总之，在备考中对于课本的基本概念、知识要让学生知其然，还要其所以然. 另外复习时考生还要深入研究教材.以教材中的例、习题素材，深入浅出、举一反三、加以推敲、延伸和适当变形，典型例题.在这个过程中不追求数学解题中的所谓“技巧”，不搞“偏题”“怪题”.将最基本的数学方法进行提升和巩固，突出思维能力和运算能力，及时引申拓展、培养归纳能力，这样考生在高考中才可以达到融会贯通、高屋建瓴的境界.

（2）扫除“迷雾”，甄别“优劣”，领悟思想，提升灵活运用的解题能力

对于函数与导数的大题，有很多种题型，选择入手的解题方法或许也有很多种，这时要求我们学会将题目中的“迷雾”扫除，要学会甄别解题方法的“优劣”. 要提升灵活运用解题的能力. 不管怎样，其实导数的大题的处理手法都“殊途同归”. 无论是求函数最值、极值，还是证明不等式、求参数的取值范围，往往都要涉及用到函数的单调性，因此我们在备考的过程中要学会用选择的方法转化为函数单调性问题来处理，不管题目怎么“改头换面”，这类问题的解决以构造函数、分离参数等为途径，求导选择核心函数为突破口，准确求解核心函数（特别是二次函数）为落脚点，同时在学习备考过程中要时刻注重渗透数学思想方法. 在备考时将思想、方法与基础知识融为一体才是最有效的，注重对数学思想方法的分析，把相关题目学活、学懂、学深.（“学活”就是让考生看到活生生的数学知识的来龙去脉和形成过程，而不是死的数学知识;“学懂”就是让考生真正理解有关的数学内容，而不是囫囵吞枣、死记硬背;“学深”是指让考生不仅能掌握具体的数学知识，而且也能感受、领会、形成、运用内在的思想方法）. 用“1234567”口诀（高中数学一线牵，代数几何两珠连，三个基本记心间，四种能力非等闲，常规五法天天练，策略六项时时变，精研数学七思想，诱思导学乐无边）来备考：以函数为一条主线贯穿始终，将代数、几何珠联璧合，注重知识交汇;落实三基（方法熟、知识牢、技能巧）;提升四能力（概念运算准确、逻辑推理严谨、空间想象丰富、分解问题灵活）;重五法（换元法、配方法、待定系数法、分析法、归纳法）;运用六策略（以简驭繁，正难则反，以退为进，化异为同，移花接木，以静思动）;渗透强化七思想（函数方程最重要，分类整合常用到，数形结合千般好，化归转化离不了，有限自将无限描，或然终被必然表，特殊一般多辨证）. 所以，我们在平时解题中要注重方法和思路的分析，不断地在解题中渗透强化，长期不懈地加强数学思想方法的训练. 只有这样，考生才可以领悟其真谛，内化每一种数学思想方法，同时在解题中时刻注重灵活运用和转化，这样才可以在高考中可以真正地破解这类难题，达到融会贯通、运筹帷幄于“决胜之颠”，真正地达到运用自如的境界，才最终演化为自己的数学素养，从而实现优效备考.

（3）加强“抢分”意识，重视规范解答，居高临下识“玄机”

在函数与导数大题中，它具有较强的渗透力，它可和其它数学知识综合起来，比如：含参函数与方程及与不等式结合问题，与不等式结合，证明函数不等式（均构造两个函数或由函数不等式恒成立求参数的范圍），函数方程结合考查讨论根的个数，由根的分布求参数范围（构造新函数），极值点偏移问题，中值定理及凸凹性所暗含的双变量不等式证明问题，导数符号判断、导数零点存在性处理、缩小变量研究范围、借助重要函数不等式放缩函数，等等.

但这些都凸显考查数学的思想方法，因此我们不能惧怕这些类型，还要加强“抢分”意识，要写出函数的单调区间，学会求导，求单调区间，注重它们的规范解答，这样才可以在解题中多拿分数. 另外在平时复习备考中要居高临下识别导数大题的“玄机”——用好导数这个工具.总之，我们要突破函数与导数这些题型，必须加强理解把握，就算题目是以“崭新”面貌出现，只不过是在其外表上面赋予一层神秘“面纱”，它们本质上只不过是源于高等数学，命题者通过初等化的处理与巧妙设计，潜移默化地在题目中渗透高等数学的一些观点与方法，比如把一些高等数学中的有关概念、运算或一些性质、定理及公式等“摇身一变”就了命题的“新题”. 因此，作为考生的我们根本无须害怕这些类型，因为解决它也无须掌握很多的高等数学知识，只要我们在心理上首先克服对这一类题型的“恐惧”，善于将其转化并充分利用好导数这个“工具”——单调性问题，那么我们便真正地识别转化的“玄机”，在训练的过程中多注意以上类型，分析思考时从基本方法和技巧出发，领悟解题的“本质”——构造已知条件和要求条件的关系，多角度、多方位分析和优化问题，必能一题破万题，这样才可以达到“八方联系、浑然一体，漫江碧透、鱼翔浅底”的境界，从而优效地备考，最终笑傲2020年高考.

（本文系广东省教育科学规划课题——构建高中数学“优效教学”的行动研究（课题号：2016YQJK205）的研究成果）

责任编辑 徐国坚