多普勒信号的Burg算法优化研究

(1.北京交通大学 机械与电子控制工程学院，北京 100044； 2.北京宇航系统工程研究所，北京 100076；3.中国北方工业有限公司，北京 100053)

高速列车测速大多采用多普勒测速方式，其安装在列车底部避免了传统接触式列车测速方式由于列车运行时速过高带来的轴承磨损、空转等误差[1-2]。在列车测速过程中由于运行环境复杂，如路面变化、周边列车影响，多普勒测速反射回波是由多个回波信号叠加而成的。一般将回波信号看作平稳随机信号，通过谱估计法对多普勒信号进行频域信号分析。谱估计分为经典谱估计与现代谱估计两种，以AR参数模型法为代表的现代谱估计对观测数据进行外推，预测求出观测数据以外的其他数据，极大增大了频谱的分辨率。在实际列车测速中，需要根据信号的有限采样点来估计AR模型参数。常用方法有Yule-Walker法、协方差法、Burg算法和改进协方差法[3-4]。其中改进协方差法为Burg算法的进一步发展。针对Burg算法的误差来源，分析了基于窗函数的优化算法，并针对改进的协方差法实现了基于预测误差功率最小意义的优化算法。仿真实验证明，优化算法对多普勒信号功率谱估计能力均有很大改善。

1 Burg原理及误差分析

1.1 Burg原理

Burg 算法基于线性预测器的前、后向预测的总均方误差之和最小的准则直接从观测数据来估计反射系数，然后通过Lenvinson-Durbin算法的递推公式求出AR 模型参数[5]。这种算法对未知数据不需要做任何假设，估计精度较高。方法如下，前、后向预测误差平均功率为

(1)

(2)

式中，km为反射系数即模型k阶模型的第k个系数；m为模型阶数，m=1,2，…，p。然后利用L-D递推公式递推出模型参数:

(3)

式中，k=1,2，…，m-1。

am(m)=km

(4)

(5)

1.2 误差分析

在Burg算法推导原理中可以看出。在L-D递推公式中，高阶系数由一阶系数递推。因此一阶参数估计误差对高阶参数有一定影响。为分析一阶参数影响，给定信号x(n)=sin(ωn+θ)，初相位为θ，归一化频率为ω。由Yule-Walker方程[6]可得一阶模型参数a1(1)的真实值为a1(1)=-cosω。将信号公式代入反射系数km公式(式(2))中，求得a1(1)估计值为

(6)

式中，第二项为一阶模型参数估计误差，可以算出当初相位θ为π/4的奇数倍；信号长度N为1/4周期的奇数倍时误差最大[7]。

2 两种Burg优化算法

2.1 基于窗函数的优化算法

由式(3)～式(5)可知，模型参数直接由反射系数求出。为减小误差可直接对反射系数km进行修正。引人补偿系数ωn(m)，其相当于对信号进行加窗处理，进一步提高其方差能力，从而降低频谱偏移程度、改善频谱分辨率。Kaveh M等人基于平均频率误差方差最小原则得出最优窗函数为[8]

(7)

(8)

2.2 基于预测误差功率最小意义的优化算法

由误差分析可知，高阶参数由低阶参数递推得到。低阶参数误差对高阶参数推导有一定影响，导致谱估计质量下降。针对改进的协方差法原理中∂ρm/∂a(m,i)=0对原算法做如下改进[10-11]：在预测误差功率最小的意义下直接求解高阶模型系数，为保证不增加过多计算量，可先求二阶预测误差功率。由先计算一阶模型参数a1(1)，改为先计算二阶参数a2(1)、a2(2)。如式(9)所示，先求二阶误差平均功率:

(9)

接下来计算二阶模型系数a2(1)、a2(2)。

(10)

式中，各参数如下：

(11)

(12)

由式(12)可以看出，改进算法通过二阶参数的推导间接修正了一阶参数估计误差，避免了误差项的影响，因此谱估计精度有了极大提高。

3 仿真分析与实验验证

3.1 算法性能对比

输入仿真信号为

x(t)=sin(2π·50·t+π/4)+0.5randn(size(n))

(13)

给定信号频率为50 Hz，初相位为π/4，采样点数N为55，其相当于1/4信号周期的11倍。由1.2节误差分析可知，此时的数据长度和初相位为最不利情况。信号混有均值为0，方差为1的随机噪声干扰。

取采样频率为1 kHz，模型阶数m=7。对原Burg算法及两种优化算法进行功率谱估计对比，结果如图1所示。从图1中可以看出，原算法频谱分辨率最差与给定信号可达到5.66 Hz偏差，两种优化算法的频谱分辨率均有一定改善，可有效抑制频谱偏移。其中基于预测误差功率最小意义的Burg优化算法2的谱估计能力最好，与原信号只有0.29 Hz的频率偏差。

图1 不同算法的谱估计性能对比

3.2 算法复杂度分析

对原算法及两种优化算法进行复杂度分析，当模型阶数m=7时，结果如表1所示。

表1 算法复杂度分析表

从表1中可以看出，优化算法1中运算次数较多，而优化算法2只增加了2m-13次乘法，m-6次加法，对算法复杂度影响不大。3种算法运行时间大致相同，说明优化算法在不增加运行时间的前提下提高了频谱的估计能力，对原算法起到了明显优化作用。

3.3 模型参数对算法性能影响

给定信号：

x(t)=5sin(2π·300·t)+3sin(2π·305·t)+0.5randn(size(n))

(14)

信号包含300 Hz和305 Hz频率分量。为满足采样定理，取采样频率为1000 Hz。首先固定FFT点数为1024，给定不同采样点数N。

由图2中看出，随着采样点数N的增加，频谱分辨率越来越好。但由于采样点数增加会造成计算量的增大，不能满足列车测速的实时性要求。综合考虑频谱计算精度与实时性要求，取采样点数N为1024点。FFT计算点数参数选择过程同理，取FFT点数为1024点。

图2 不同采样点数N对算法性能影响

3.4 列车测速范围内算法的谱估计验证

列车速度与多普勒频率的计算公式为[8]

(15)

式中，v为列车速度(km/h)；fd为多普勒频率；f0为雷达发射波频率，为24.125 GHz；σ为雷达发射波方向与地面的夹角，假设为0°；c为光速3×108m/s。

由于高速列车被测速度范围为0.2～600 km/h，由式(15)可知，多普勒频率fd的范围在8 Hz～27 kHz之间。

为验证优化算法在列车测速过程中的适用性能，分别给定待测量频率范围内不同频段信号频率组，三组分别为51 Hz、306 Hz、2006 Hz；4050 Hz、9000 Hz、14 kHz；22.2 kHz、24.9 kHz、26.3 kHz。综合考虑频率分辨率与系统实时性处理要求，对第一组频率分量采用8 kHz采样频率，后两组采用80 kHz采样频率。使用Matlab对算法谱估计能力进行仿真，结果如图3所示，图中可以看出优化算法在各个频段内适应性良好，可准确估计出各个频段的信号频率。

图3 测速范围内不同频段Burg算法谱估计

3.5 基于实测数据的的谱估计验证

为进一步验证算法实用性，实物如图4所示，通过信号发生器给定上述三组频率，通过DSP进行信号处理测试算法谱估计能力。测试结果如表2所示，表中可以看出，算法可以准确识别各个频段频率且误差小于1%。

图4 DSP信号处理实物图

理论频率/Hz实测频率/Hz理论速度/km·h-1实测速度/km·h-1频率误差/%5150.78 1.14 1.13 0.43 306308.59 6.90 6.84 0.85 20062007.81 44.91 44.87 0.09 40504062.50 90.86 90.58 0.31 90008984.38 200.95 201.30 0.17 1400013984.38 312.78 313.13 0.112220022187.50 496.25 496.53 0.062490024921.88 557.41 556.92 0.092630026328.13 588.86 588.24 0.11

4 结束语

针对多普勒信号处理的Burg算法进行了研究，分析其推导原理及产生误差原因。对于模型低阶参数估计误差来源进行了两种修正优化算法分析。一种是基于窗函数的优化，另一种基于预测误差功率最小意义的优化。通过Matlab仿真分析对比了原算法与两优化算法的功率谱估计能力，选择出模型最优参数,并对列车测速范围内进行了优化算法的谱估计验证。实验结果表明，两种优化算法在不增加运行时间的基础上对频谱估计性能均有极大改善，可以识别出列车测速范围内各个频段频率，谱估计频率误差小于1%。