非等温黑体空腔积分发射率响应面法研究

刘 波， 郑 伟， 李海洋， 马 超,2， 何永兴

(1.上海市计量测试技术研究院，上海 201203；2.上海交通大学 电子信息与电气工程学院，上海 200240)

0 引 言

黑体辐射源主要用于红外探测元件、红外仪器整机性能测试、红外测温仪、热像仪校准等领域，主要由黑体空腔、黑体空腔测温、控温元件或系统、保温层及外壳等组成。发射率是黑体空腔的重要性能参数之一，表示其与理想黑体辐射特性的接近程度。实际黑体空腔的发射率受空腔结构(腔体长度、半径、开口半径、腔底锥角)、腔壁温度均匀性和腔壁材料辐射特性等因素的影响。然而黑体辐射源发射率的精确测量比较困难，通常采用理论计算的方法[1,2]如积分方程法[1,3]和Monte-Carlo法(MCM)[2,4～6]。

随着数值模拟技术的发展，通过有限元或有限体积法(finite volume method,FVM)能够避免复杂公式推导，提高解决复杂结构问题的工作效率[7]。刘仁学和王磊[8]对圆筒形空腔建立有限元模型，运用ANSYS软件分析了空腔结构和腔壁材料发射率对黑体空腔发射率的影响。Liu D等人[9,10]对非轴对称空腔建立有限体积模型，运用Fluent软件模拟计算了等温和非等温时腔体结构和腔壁发射率对黑体空腔有效发射率的影响，并将模拟结果与MCM的计算结果进行了比较。蔡璐璐等人[11,12]分别基于积分方程法、MCM、有限元法对比分析了空腔结构和腔体材料发射率等因素对黑体空腔有效发射率的影响。

以上文献分析表明，黑体空腔结构(腔体长度、半径、开口半径、腔底锥角)和腔壁温度均匀性是影响其发射率的重要因素。上述文献均通过控制变量法对这些因素的影响开展研究，尚未有报道对这些因素间的交互作用开展研究。响应面法(response surface method,RSM)是一种综合试验设计和数学建模的优化方法，可考察影响因素间的交互作用，并有效减少试验次数。

本文基于FVM，采用RSM试验设计研究了腔体长径比、光阑孔径与腔体直径比、腔底锥角和腔壁相对温差对非等温黑体空腔积分发射率的影响,研究结果可为高性能黑体辐射源的研制和研究提供借鉴。

1 黑体空腔结构与网格划分

常用的黑体空腔形式有圆筒形、圆锥—圆柱形和球形，圆锥—圆柱形空腔的结构如图1所示。

图1 圆锥—圆柱形黑体空腔结构示意图及温度分布

D为圆柱直径，L为圆柱长度，Da为光阑开孔直径，θ为圆锥顶角。为了使分析更加简明清晰、凸显结构影响，采用无量纲参数描述空腔几何尺寸，文中设置D=1。假设空腔壁面为漫射灰体，忽略衍射和偏振效应，同时认为空腔壁面的发射率与温度和波长无关[9,10]。根据黑体辐射源空腔设计参数[1,3]，空腔壁面材料发射率ε取值0.95。在圆锥和光阑段，假设温度分布均匀，分别为Tc和Ta，假设两者之间的温度呈线性分布，图1，定义无量纲参数ΔT=(Tc-Ta)/Tc，以此研究不等温腔壁对发射率的影响。圆锥—圆柱形空腔的结构简单，在圆锥和光阑端为适应结构变化采用四面体网格，在圆柱部分采用六面体网格，以获得良好的网格精度和经济的网格数量，网格划分如图2所示。

图2 圆锥—圆柱形黑体空腔网格划分

2 模型设置、网格无关解和模型验证

空腔局部有效发射率定义为空腔壁面某处的热辐射强度与同温度黑体热辐射强度的比值，空腔局部全光谱有效发射率

(1)

式中L(T0,ξ,ω)为空腔壁面在温度T0、ξ点处、ω方向上的辐射强度，W/(m3·sr)；Lb(T0)为相同温度黑体的辐射强度。

空腔积分发射率定义为空腔内壁发出并投射到辐射探测器的辐射热流与同温度黑体空腔发出并投射到探测器的辐射热流的比值，空腔全光谱积分发射率

(2)

式中 Ф(T0,Rd,Hd)为空腔在温度T0时，投射到直径Dd,距离Hd探测器的辐射热流，W；Фb(T0,Rd,Hd)为同温度黑体投射到同直径、同距离探测器的辐射热流。空腔积分发射率可通过局部有效发射率对整体空腔区域和一定的辐射角进行积分求得。

空腔漫反射内壁某点的有效半球辐射等于该点处自身的半球辐射加上内壁其它各处投射到该点的反射辐射

(3)

式中Jk为空腔内壁某点的有效辐射能，W；Ek为该点自身发出的辐射能，W；εk为空腔内壁发射率；Fk,j为空腔内壁两点处面积微元间的角系数；N为面积微元的数量。式(3)可以写成矩阵形式

KJ=E

(4)

通过迭代求解矩阵可求得空腔内壁各点处的有效辐射能Jk。迭代收敛准则为

(5)

空腔内壁发出并投射到辐射探测器的全光谱辐射热流为

(6)

式中Fk,d为面积微元k与辐射探测器间的角系数。同温度黑体空腔发出并投射到探测器的全光谱辐射热流为

(7)

因而空腔积分发射率为

(8)

采用Surface-to-Surface模型，根据空腔几何结构及网格划分，得到空腔各面积微元间及各面积微元与辐射探测器间的角系数。在Fluent软件中求解式(3)～式(8)，求得空腔的积分发射率εe。辐射探测器不参与辐射传递，其壁面发射率设为1，温度设为0 K。

在L/D=5，Da/D=0.6，θ=135°，ΔT=0.5 %，Hd=0条件下进行了网格无关性检验，分别以0.03，0.034，0.04，0.05，0.07为网格尺寸对空腔进行网格划分，共得到292 252，190 408，128 308，66 437，24 965个网格，网格数量对εe及η的影响如图3所示。当网格尺寸不大于0.05时，以最精细网格模拟结果为参考，模拟εe的变化小于0.000 001 6，相对变化小于1.6×10-6(百万分比)；模拟η的变化小于-0.000 16 %。因此，所选网格划分精度对模拟结果影响较小，在保证计算精度的前提下，本文选用0.05网格尺寸建立空腔有限体积模型，以获得合理的计算时间。

图3 网格数量对空腔有效积分发射率及其不均匀性分布系数模拟结果的影响

选用美国国家标准与技术研究院Prokhorov A V和Hanssen L M的报道[2]验证本文模型，其采用MCM计算了带倾斜底面的圆柱形等温空腔的εe，空腔结构如图4所示。

图4 带倾斜底面的圆柱形黑体空腔示意

Rc为空腔圆柱段半径，Ra为光阑半径，β为底面倾斜角，H为空腔总长度。定义Rc=1，在Ra=0.5，β=30°，腔壁材料发射率为0.9条件下，本文采用FVM与MCM的计算结果比较如图5所示，辐射探测器与光阑的距离为0。在H=4，6，8时，随着H增加，两种方法计算结果的偏差逐渐减小，但在H=10时，偏差增大。这是由于在H=8,10时，MCM计算结果均为0.994 58，然而随着H增加，空腔的辐射能力更接近黑体，其发射率应该增加[2,4,8,11]。当发射率较高时，MCM的计算结果[2]不能预测该趋势，而本文基于FVM的模拟结果正确反映了该趋势，所以,在H=10时，计算结果的偏差变大。两种方法计算结果的最大偏差小于0.000 075，最大相对偏差小于75×10-6，说明本文采用FVM能够用于研究黑体空腔的积分发射率。

图5 有限体积法和Monte-Carlo法[2]计算空腔积分发射率结果的比对

3 黑体空腔响应面法分析

空腔长径比L/D，光阑孔径与腔径比Da/D，圆锥顶角θ和腔壁相对温差ΔT是影响积分发射率εe及其在光阑出口处不均匀性分布系数η的4个关键因素，根据黑体辐射源空腔设计参数[1,3,13]每个因素假设5个水平，采用RSM进行试验设计共获得27组因素组合。为方便后续分析，对试验因素水平进行编码如表1所示，四因素的5个水平均用编码-2，-1，0，1，2表示。

表1 试验因素水平及编码

对采用RSM设计的27组实验进行数值模拟，获得εe，进行响应面分析，对显著性p值和各因素项的系数分析可知，各因素对空腔积分发射率εe的影响次序是ΔT线性项>Da/D线性项>L/D线性项>L/D与ΔT交互项>L/D平方项>Da/D平方项，其它项的p值大于0.1，对εe没有显著影响。比较影响因素项系数可知，ΔT线性项的显著性远大于其它项。

通过响应面图可直观分析不同因素对εe的影响，如图6所示。横、纵坐标分别表示两个不同的因素，另外两个因素水平编码取值为0，颜色灰度表示εe的值。在非等温黑体辐射源发射率计算时，通常以圆锥腔底的温度Tc作为参考温度，因而部分实验组模拟结果小于0.95(腔壁材料发射率)。由图可知，腔壁相对温差ΔT是影响εe的最显著因素，光阑孔径与空腔直径比Da/D和空腔长径比L/D对εe也有显著影响。腔底锥角θ对εe的影响不显著，理论而言，虽然θ对εe有影响，但当εe比较大时，这种影响不再显著。

由图6可知，随Da/D减小、ΔT减小、或L/D减小，εe增大，而θ变化对εe没有显著影响。这是因为随Da/D减小，光阑开孔直径减小，空腔更接近绝对黑体模型，所以，εe增大。随ΔT减小，光阑温度Ta更接近腔底温度Tc，腔体温度更加均匀，因而以Tc作为参考温度计算得到的εe增大。在等温黑体空腔里，随L/D减小，腔体长度变短，空腔有效积分发射率εe减小[2]；但在非等温黑体空腔里，腔体长度变短降低了腔体不等温性的影响，所以，εe增大。θ变化对腔体温度分布和腔体长度不产生明显影响，因而对εe没有显著影响。

图6 四因素线性项对空腔积分发射率的影响

黑体空腔积分发射率εe与其在光阑出口处不均匀性分布系数η的关系如图7所示。采用最小二乘法拟合得到的公式及拟合优度系数表明，η随εe的增加而线性减小，即当黑体空腔积分发射率越大时，其在光阑出口处的分布越均匀：有利于减小红外温度计校准过程因εe分布不均匀而产生的不确定度。

图7 空腔积分发射率εe与其不均匀性分布系数η的关系

为了高精度地复现辐射温度，在研制高性能黑体辐射源时，应当对空腔结构进行优化设计，提高空腔均温性，适当缩小光阑孔径和使用高发射率涂料，是提高黑体空腔积分发射率的有效方法。

4 结 论

采用有限体积法模拟计算了等温黑体空腔的积分发射率。针对带倾斜底面的圆柱形等温空腔，比较了有限体积法和MCM法的计算结果，发现两种方法的计算结果吻合良好，且有限体积法能更准确地模拟空腔积分发射率的变化趋势。

采用响应面试验设计分析方法，数值模拟了圆锥—圆柱形黑体空腔在四因素五水平的积分发射率εe及其不均匀性分布系数η，结果表明：腔壁相对温差ΔT对εe的影响最显著，其次是光阑孔径与空腔直径比Da/D和空腔长径比L/D(p<0.05)；腔底锥角θ对εe的影响不显著。η随εe的增加而线性减小，即εe在光阑出口处的分布更加均匀。研究结果可为高性能黑体辐射源的研制和研究提供借鉴。