“函数的单调性”教学设计

王颖楠

一、教材分析

函数的单调性是人教B版必修一第二章第一部分内容。

学生初中通过对函数的学习，已经对函数的变化趋势有了初步的感受，本节课对函数概念进行了进一步的发展和深化，是之后学习指对幂函数等其他初等函数的知识基础，而且在不等式，函数的零点，导数等部分也有涉及，帮助学生结合数形结合思想掌握函数与图像之间的联系，发展逻辑推理能力，提高抽象思维。

二、学情分析

学生在初中阶段，已经学习了一些简单的函数，通过对函数图像的学习，对函数的上升下降趋势有了初步直观的认识。班级学生数学基础较好，具备初步的观察，分析，抽象概括能力，能够对问题进行一定程度上的归纳类比。同时学生的思维也存在不足，抽象思维水平较低，在实现对经验性认识到理论性认识的跨越中存在障碍。

三、教学目标

知识与技能：认识函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。

过程与方法：在探究函数单调性定义的过程中，感受数学概念的形成途径，体会数形结合思想在解决数学问题时的使用方法，通过对概念的认识，帮助学生在抽象思维和逻辑推理方面的能力能有所提升。

情感、态度与价值观：在对单调性的探索过程中，使学生感受数学从特殊问题入手，探索一般规律的过程，在分析事物时学会用变化与运动的眼光，培养学生善于探索的思想品质。

四、教学重难点、教学方法

教学重点：函数单调性的概念，证明和应用。

教学难点：函数单调性概念的形成及用定义法证明函数的单调性。

教学方法：讨论法，讲授法。

五、教学设计：

（一）创设情境、引入新课

问题提出：观察2019年春节电影票房走势图，你能描述每部电影票房的变化情况吗？

让学生回答电影票房在春节期间呈上升或下降趋势。

通过创设情境，研究有关电影票房的实例，通过电影票房的上升下降趋势，引申到函数图像的上升与下降，使学生体会到函数单调性与实际生活的联系，激发学生的学習兴趣，形成对函数单调性初步的认识。

（二）归纳探索，形成概念

提出问题：

1.以函数y=x+2， y=-x+2， y=x2的图像为例，让学生观察后回答。

问题1：观察图像，指出函数图像是如何变化的？呈现什么样的变化趋势？

问题2：我们在初中时，如何描述函数的上升、下降趋势？

问题3：拥有自己的语言，试着描述增函数、减函数的概念？

让学生观察图像，指出函数的上升下降趋势，并结合初中知识，从函数值随着自变量变大而变大或变小的角度描述函数的上升下降趋势。借助熟悉的函数图像，帮助学生获得关于单调性的直观认识。通过结合数形结合的思想，让学生在初中学习的基础上，将直观认识转化为描述性认识。

问题4：如何用数学符号语言定义增函数？

教师引导学生用数学符号，从x与f （x）的关系角度进行定义。学生合作讨论后，教师完善定义并板书。引导学生归纳出增函数定义。

问题5：能否用类似方法定义减函数？

教师帮助学生类比增函数的定义得出减函数定义。培养类比的思想，归纳总结的习惯。

（三）讲练结合，巩固新知

例1：如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f （x）的图象，根据图象说出y=f （x）的单调区间，以及在每一个单调区间上，y=f （x）是增函数还是减函数。

例2.证明函数f （x）= x2在区间（0，+∞）上是增函数。

提出问题：如何根据定义法证明函数单调性？你能总结出该证明方法一般步骤吗？

帮助学生根据定义的符号表达，结合具体函数解析式，对本题进行证明。引导学生归纳出取值，作差，变形，定号，得出结论的证明一般步骤。加深对概念的理解和体会，帮助引导学生理解使用定义证明法证明函数单调性的过程。概括出证明步骤，进一步帮助学生掌握函数单调性的证明、判断方法。

例3.证明函数  在区间（0，1）上单调递减。

练习：判断函数在[0，+∞）的单调性并证明。

（四）回顾小结，提高认识

回顾小结：

1、本节课主要学习了函数单调性的概念，判断、证明函数单调性的方法。

2、证明函数单调性的一般步骤：取值、作差、变形、定号、得出结论;

3、体会数形结合的思想，学会从特殊问题里总结一般规律的思维方式。

六、板书设计

七、教学反思

这节课内容是对函数概念的深化，对于学生抽象思维能力提出较高要求。优点在于在概念形成部分，利用提出问题的方式，层层推进，达到了帮助学生认识概念的目的，取的了较好的教学效果。不足之处是在定义法证明函数的教学过程中，部分学生在证明具体问题时掌握不到位，运算能力不足，对教师有较强依赖性，之后应注意培养学生自主学习的能力和意识。