考虑随机参数的框架剪力墙结构抗震可靠度分析

郭晓芳 刘 威 刘章军

(三峡大学 土木与建筑学院,湖北 宜昌 443002)

对于工程结构而言,外部激励与结构体系的不确定性是客观存在且不可忽略的.例如,地震等振动冲击作用须作为随机激励来处理;此外,批量产生的结构或构件的物理参数和几何参数等也不可避免地具有分散性[1],故研究随机激励下随机结构的动力响应是十分必要的.

目前,对于随机结构的分析主要有随机模拟方法、随机摄动技术、正交展开理论[2]与概率密度演化方法等[3].随机模拟方法适用性广泛但计算工作量较大;随机摄动方法计算格式简单,但由于其固有的久期项问题使之在结构动力分析中受到严重挑战.正交展开理论对于线性随机结构的动力响应具有较好的精度,但对于非线性随机结构的计算精度有待提高.概率密度演化方法可获得结构响应的概率密度函数,因而可应用于非线性结构的随机动力反应分析和可靠度计算,为大型复杂工程的随机动力可靠度精细化计算开辟了道路.

本文拟采用文献[4]非平稳地震动随机过程的谱表示-随机函数方法,用一个基本随机变量模拟随机地震动的过程,生成与《建筑结构抗震设计规范》(GB50011-2010)[5]反应谱相一致的地震动代表性时程;同时引入随机函数,将结构的弹性模量与泊松比作为随机参数用一个基本随机变量表示,实现随机结构参数的降维表达.进而建立一个框架剪力墙结构的三维有限元模型,结合概率密度演化理论,对该结构的确定与随机两种工况下的地震反应和抗震可靠度进行分析计算.

1 非平稳地震动的概率建模

在地震工程中,全非平稳过程的演变功率谱为[6]

式中,S X g(t,ω)为双边的演变功率谱密度函数;S(ω)为平稳地震动随机过程的功率谱密度函数;本文采用Clough-Penzien模型;A(t,ω)为确定性的时-频调制函数,其表达式为

其中

式中,ωg为场地土的卓越圆频率;参数b=a+0.001,c=0.005.本文取a=0.2 s-1.

根据文献[7],非平稳地震动过程X g(t)的谱表示为

式中,ωk=kΔω,Δω为频率离散步长;N为频率截断项数.

在式(4)中,{X k,Y k}(k=1,2,…,N)为一组标准的正交随机变量,满足如下的基本条件

式中,E[·]为数学期望;δkl为Kronecker-delta记号.

基于随机函数理论,可将标准正交随机变量{X k,Y k}定义为基本随机变量的函数形式.假定任意的两组标准正交随机变量X k与Y k分别是基本随机变量Θ1的函数,即构造如下的随机函数形式

式中,Θ1为在区间[-π,π]上均匀分布的基本随机变量为k的某种确定性一一映射,该一一映射的实现参见文献[6].显然,式(6)满足基本条件式(5).

一般地,地震动代表性时程集合的平均反应谱与规范反应谱会有一定的拟合误差.为了满足规范要求,通过定义反应谱的平均相对误差和最大相对误差,使两者的相对误差分别在5%和10%之内.当两者的相对误差不能满足时,需要对式(4)中的演变功率谱进行迭代修正,直到满足要求为止.

2 随机结构参数的随机函数表达

在实际工程结构中,结构体系的随机性主要来源于工程材料、结构构件尺寸、结构边界条件及结构物理性质等4个方面.本文主要研究工程材料的随机性对结构的影响.在钢筋混凝土结构中,由于原材料组成和生产工艺等因素的影响,一般可认为混凝土的变异性更为显著.因此,本文仅考虑混凝土材料的随机性.此外,混凝土的弹性模量和泊松比是检验混凝土力学性能的基本指标,且弹性模量与混凝土抗压强度有一定关系,弹性模量愈大,混凝土抗压强度愈大.为此,本文选取混凝土的弹性模量E与泊松比ν作为结构体系的随机参数.

假设结构每层的混凝土弹性模量E i与泊松比νi互不相关,且分别服从参数为μE、σE和μV、σV的正态分布.为方便计,可进一步引入标准化的随机变量αi与βi,使

显然,随机变量αi与βi应满足

基于随机函数的思想,将αi与βi表示为基本随机变量Θ2的函数[8],即

式中,Φ-1(·)表示标准正态分布的反函数;Θ2为在区间[-π,π]上服从均匀分布的基本随机变量;φ为任意常量,本文取φ=π/3.显然,式(9)所构造的标准随机变量{αi,βi}满足基本条件式(8).

通过式(7)与式(9)之间的转换,将随机结构的基本随机变量数量从2n减少到1,实现了随机结构参数降维表达的目的.

3 随机动力系统的模拟

3.1 随机动力系统的模拟步骤

随机地震动与结构体系的物理参数为随机因素,共同构成一个随机动力系统.将随机向量Θ=(Θ1,Θ2)记为随机动力系统的基本随机变量,其中Θ1和Θ2是两个相互独立的随机变量.随机动力系统模拟的基本步骤如下：

1)基本随机变量代表性点集的选取.首先,应用数论方法[9],在空间[0,1]×[0,1]上选取均匀分布的代表性离散点集然后,通过线性变换得到在空间[-π,π]×[-π,π]上均匀分布的代表性离散点集线性变换如下

式中,nsel为离散代表性点的总数.同时,计算代表性点的赋得概率P j(j=1,2,…,nsel),显然

2)生成非平稳地震动过程的代表性样本集合.将选取的代表性点θ1j代入式(6)中计算{Xk(j),Yk(j)},然后将其代入式(4)中,获得随机地震动加速度过程的代表性时程.值得注意的是,演变功率谱需要进行迭代修正.其具体方法详见文献[6].

3)生成随机结构参数样本.将选取的代表性点θ2j代入式(9)中计算随机变量αi与βi的确定性数值,再将其代入式(7)中,得到随机变量Θ2第j个离散代表点对应结构的每层楼混凝土的弹性模量与泊松比的样本值,同时获得此样本的赋得概率P j.综合上述的模拟方法,即构造了由2个基本随机变量表示的随机动力系统模型.

3.2 随机动力系统的代表性样本生成

在式(4)中,截断项数N=1 600,频率间隔Δω=0.15 rad/s,截断频率ωu=240 rad/s.同时,地震动持续时间T=25 s,时间间隔Δt=0.01 s,满足Δt≤π/ωu的条件.本文考虑抗震设防烈度为8度,场地类别为Ⅱ类,设计地震分组为第二组.根据规范,地震动峰值加速度amax=200 cm/s2,场地土参数ωg=15.71/s,εg=0.72,峰值因子γ=2.88.

本文模拟了144条全非平稳地震动加速度时程,经过对演变功率谱进行3次迭代修正,得到的平均反应谱与规范反应谱的两个相对误差分别为2.33%和6.31%,两者均分别小于容许误差5%和10%,满足抗震设计对于地震动输入的要求.图1分别给出了迭代前和3次迭代后的非平稳地震动加速度的代表性时程.从图1可以看出,与迭代前的代表性时程相比,3次迭代后的代表性时程在波形上基本无明显变化,而频率和振幅略有调整.

图1 非平稳地震动过程加速度的代表性时程

图2为模拟的地震加速度平均反应谱与规范反应谱的对比图,经过3次迭代后的平均反应谱与规范反应谱在长周期部分的拟合程度十分理想,完全可以达到建筑抗震设计的要求,这说明迭代过程主要是对长周期部分进行了修正.

图2 地震加速度反应谱的比较

对于结构随机参数的模拟,本文选取C40混凝土的弹性模量与泊松比作为结构体系的随机变量,其分布参数见表1.同样地,获得nsel=144组结构随机参数的代表性样本.

表1 结构体系随机变量的分布参数

4 工程实例

4.1 工程概况及有限元模型建立

本文以北京某地区的13层框架-剪力墙结构住宅楼为例,建筑总高度为40.8 m,1～12层层高为3 m,13层层高为4.8 m.考虑抗震设防烈度为8度,设计基本地震加速度为0.2g,设计地震分组为第二组,场地类别为Ⅱ类.框架柱的截面有300 mm×400 mm、300 mm×500 mm等6种不同尺寸类型,梁的截面尺寸有200 mm×400 mm、200 mm×450 mm等5种类型.建筑材料采用C40混凝土,HRB400级钢筋;剪力墙厚200 mm,楼板厚120 mm.图3为该工程的标准层平面图.采用Midas Building软件对该框架剪力墙结构进行有限元建模.整个建筑共产生2 421个节点,141个柱构件,2 097个梁构件,1 077个墙柱构件,733个楼板构件.竖向载荷考虑恒荷载、活荷载和结构自重,水平载荷仅考虑地震作用;模型底部考虑为施加全部约束的固定端.有限元模型如图4所示.

图3 标准层平面图

图4 有限元模型图

4.2 框架剪力墙结构的抗震可靠度分析

将层间位移角作为随机地震作用下框架剪力墙结构损伤程度的评价指标.结合概率密度演化方法,分别计算确定结构与随机结构各层层间位移角的随机地震反应,进而计算各层的动力可靠度.图5为第7层层间位移角反应均值和标准差.从图中可知,结构反应量的均值与标准差随地震动时程幅值的变化而变化,且随机结构反应量均值的波动幅值明显大于确定结构,这说明在随机动力系统中考虑结构参数的随机性后使得结构反应显著增强.

图5 结构7层层间位移角的均值与标准差

根据结构动力可靠度失效准则,单层可靠度是指单层层间位移角未超过规定限值的概率[10],即

根据串联系统结构体系的整体可靠度是指任一层层间位移角超过规定限值概率,即

表2为框架剪力墙结构的单层可靠度与整体可靠度.从表2可以看出,当弹塑性层间位移角限值为1/100时,确定结构与随机结构的整体可靠度均不低于95%,说明结构具有较高的承载力和较好的延性,满足工程抗震的要求.造成这一现象的原因是计算时输入的地震动为8度设防地震,结构并未完全进入非线性状态.进一步考虑弹塑性层间位移角限值为1/250,可知确定结构和随机结构的整体可靠度均低于最小单层可靠度,说明按照复杂失效准则计算的结构抗震可靠度较之结构各层抗震可靠度均低,这一结果也验证了复杂失效准则下的结构可靠度与最弱链可靠度并不是等价的.另外,无论弹塑性层间位移角限值为1/100或1/250,随机结构的整体抗震可靠度不高于确定性结构,这进一步证明了在随机动力系统中考虑结构参数的随机性会使得结构整体可靠度降低.

表2 结构抗震可靠度(%)

5 结 论

本文建议了一种随机动力系统的降维模拟方法,实现了仅需两个基本随机变量即可描述整个随机动力系统的目的,并结合概率密度演化理论,研究了随机结构和确定结构的抗震可靠度.研究结果表明：

1)考虑结构参数的随机性使得结构的地震反应增大,抗震可靠度降低,表明结构是偏于不安全的.因此,在精细化抗震可靠度分析中,除了考虑地震动输入的随机性外,还应当考虑结构参数随机性的影响.

2)本文方法不仅可以对地震动输入过程进行降维模拟,还可以对结构参数随机变量进行降维表达,因此,本研究为同时考虑随机地震动作用和结构参数随机性的复杂工程结构抗震可靠度精细化分析提供了参考价值.