考虑风电出力相关性的概率最优潮流计算

董晓阳 苏宏升 罗世昌

(兰州交通大学 自动化与电气工程学院,兰州 730070)

随着化石能源的消耗与环境污染问题的日益严重,绿色、环保型能源大规模接入电力系统,同时其自身的随机性也使得电力系统的不确定性问题日渐突出[1].传统的确定性潮流分析无法准确描述电力系统的实际运行状态.概率潮流(probabilistic load flow,PLF)作为一种有效的电力系统分析工具,已经在新能源渗透不断加大的现代电力系统的运行与规划中扮演着重要作用[2].

PLF最早由Borkowska于1974年提出[3],后来许多学者在此基础上进行了深入的研究.目前PLF算法主要分为近似法、解析法、模拟法3类.近似法的主要代表有点估计法[4],其通过矩信息来构造系统的近似模型,然后得到随机变量的概率统计信息,但对于所得结果的高阶矩信息误差较大.解析法的代表有快速傅里叶变换与半不变量法[5],其中半不变量法通过输入变量的各阶中心距来计算其各阶半不变量,通过线性运算计算得到输出变量的各阶半不变量,结合级数展开方式获得所需结果的概率分布信息.蒙特卡洛模拟(monte carlo simulation,MCS)作为模拟法的代表得到了广泛的应用.基于简单随机采样(simple random sampling,SRS)的MCS模拟需要大量样本进行确定性潮流计算才可以获得较为准确的结果.因此如何加快MCS的收敛速度,提高MCS的计算效率成为MCS-PLF的研究重点,拉丁超立方采样(Latin hypercube sampling,LHS)[6],重要采样(important sampling,IS)等采样方法提高了采样的均匀性,但均未从改进样本的低差异性的角度来提高蒙特卡洛的收敛速度.文献[7]阐述了基于低差异序列的准蒙特卡洛(Quasi-Monte Carlo,QMC)优于MCS与LHS的原因.采用QMC方法进行PLF计算只需要较少的采样点就可达到较高的计算精度.新能源如风电、光伏等接入电力系统往往受到地理、气候等条件的限制,比如风电场一般建在风能比较密集的地点.同一地区甚至不同地区的风速受环境气候的影响具有一定的相关性,而风电场出力直接受风速变化的影响,因而忽略相关性会对计算结果造成较大误差.为了得到包含相关关系的样本序列,随机排序[8]、Cholesky分解[9]、遗传算法等一系列相关性控制措施被引入用来生成相关样本序列.但上述方法只适用于处理输入变量之间的线性相关性,而线性相关性只适用于输入变量符合正态分布的情况,不能很好地适应现代电力系统广泛接入新能源发电的实际情况.文献[10]采用Nataf变换来实现非正态变量向正态变量的转换,但其难点在于非正态变量转换到正态情况下相关系数的求解,求解相关系数的过程比较繁琐.本文采用Copula函数来建立输入变量之间的相关关系,并采用秩相关系数描述非正态输入变量之间的相关性,提出一种QMC模拟结合Copula理论的PLF计算方法.以IEEE14节点的PLF计算和IEEE30节点的最优潮流计算为例,验证了本文所提方法的有效性.

1 Copula理论

联合概率分布函数可以较好地描述随机变量之间的关联情况,但是在实际工程应用中输入变量之间的联合概率分布函数通常难以获得.

Copula理论最早由Sklar1959年首次提出,通过一个连接函数与N个边缘分布函数来建立联合分布函数[11].假设有随机变量X1,X2,…,X N,其联合分布函数为F,各自的边缘分布函数为F Xi(x i)=u i,i=1,2,…,N,则存在一个连接函数C(u1,u2,…,u N)使得：

Copula函数有许多种类型,本文选用高斯Copula函数描述相关性.

N元高斯Copula函数可表示为如下形式：

式中,ρ为N元标准正态分布的积距相关系数;Φp是N元标准正态分布函数.

Pearson相关系数ρp、Spearman秩相关系数ρs、Kendall相关系数ρk等相关性测度常用来描述变量之间的相关关系.由于ρp只适用于描述正态变量之间的非线性相关性,ρs可以描述非正态变量之间的非线性相关性,所以本文采用ρs描述变量之间的相关关系,且文献[12]给出了联合正态分布的ρp与ρs之间的转换关系,如式(3)所示.

由风电场历史风速数据统计得到风速间相关系数ρs,通过式(3)计算得到ρp,构建风电场风速之间的高斯Copula函数.通过对高斯Copula函数进行抽样可得到相关的N元随机数向量Um,即

多风电场风速之间联合概率分布是一个多维概率分布问题,可以用Gibbs采样方式来实现多维概率分布的采样.

2 准蒙特卡洛概率潮流

2.1 QMC法及原理

QMC模拟法与MCS模拟法都是在所在的高维超立方体中进行大量抽样,再进行求平均来估计所求问题的解.但QMC模拟法与MCS模拟法的本质区别在于,MCS方法是通过对完全随机的伪随机数序列rand进行抽样来估计所求解的问题,而QMC采用的是低偏差序列.

星偏差常用来描述点列的均匀性[13],设点集P={X1,X2,…,X s},X∈[0,1]d,定义该点集的偏差如式(5)所示：

式中,J是[0,1]d中所有形如的子集的集合;A(E;P)是点列{X1,X2,…,X s}包含在区域E中的点的个数;m是[0,1]d上的Lebesgue测度[14].

定义集合P的星号偏差为：

式中,J*是[0,1]d中所有形如的子集的集合,点集P的星号偏差为：

满足式(7)要求的序列称为低偏差序列,其中C d表示由于系统误差造成的常数.

文献[15]给出了QMC模拟法在数值积分中的理论误差上界Koksma-Hlawka不等式：

式中,V(F)是函数F在Hardy和Krause意义下的方差.

由文献[16]可知采用QMC模拟法的收敛阶为O(s-1),而 MCS的收敛阶为O(s-1/2),显然采用QMC模拟法可以加快算法的收敛.

Sobol序列在维数较高的情况可以很好地保持均匀性,且易于计算机生成,文献[17]给出了一维Sobol序列的构造方法.本文采用Sobol序列构造QMC概率潮流算法.

为直观说明低偏差序列采样的均匀性,下面对Sobol序列与伪随机序列在二维情况下分别采样300、500、1 000次,绘制图形如图1所示.由图1可以看出,准随机序列可以均匀地覆盖采样区间,而伪随机序列则存在集聚现象不能较好地覆盖采样空间,因而降低了采样效率.

2.2 QMC概率潮流算法流程

潮流计算时,系统潮流方程简写为：

图1 二维随机序列对比图

式中,Y为系统节点注入功率;V为节点电压向量;Z为支路有功及无功向量,由于节点注入功率Y受负荷波动及所接入的风电场的出力波动影响为随机变量,所以V、Z也为随机向量.本文所提QMC模拟结合Copula理论的PLF具体计算流程如下：

1)初始化系统网络结构参数、秩相关系数ρs、确定性潮流次数n;

2)通过公式(3)计算高斯Copula函数相关系数ρp;

3)通过ρp建立风电场之间风速的高斯Copula函数,采用Gibbs抽样生成相关标准正态分布序列Z,并通过等概率原则得到均匀分布序列U;

4)对U按从升序排序并记录位置信息Ls;

5)通过准蒙特卡洛抽样产生低差异性序列Us,并按从小到大的顺序排列,然后通过位置信息Ls,将排列后的Us中的每个元素按照对应的位置信息重新进行排列得到序列Usp,实现相关关系从U到Usp的转换;

6)通过等概率原则Xs=F-1(Usp),求得相关的样本序列;

7)进行QMC模拟并统计节点电压和支路功率的概率信息.

3 案例分析

3.1 PLF验证所提QMC方法及Copula相关性处理方法的有效性

在Matlab2014a平台编制相应程序实现本文所提QMC模拟和Copula理论相结合的PLF算法.对IEEE-14节点系统进行修改,在节点13、14上分别接入一个额定出力为15MW的风电场,风速随机性采用形状参数为3.97、尺度参数为10.7的Weibull分布模型来描述.负荷随机性采用期望为额定值,标准差取期望值的10%的正态分布来描述.

式中,k=3.97,c=10.7.

风电场有功出力与风速的关系满足：

式中,PWR为风电场额定功率;vci、vr和vco分别是切入风速、额定风速和切出风速,大小分别为2.5、13和25 m/s.

风电出力的秩相关系数取0.8,以MCS模拟20 000次所得结果作为真值,并定义相对误差指标如下：

3.1.1 收敛性判断

为分析QMC方法的收敛性,在IEEE14节点系统中采用QMC、LHS和 MCS3种模拟方法进行相同规模的采样并统计3种模拟方法与20000次MCS模拟得到真值的相对误差,3种模拟方法收敛性对比如图2所示.

图2 QMC、LHS、MCS 3种模拟方法在同等采样规模下的误差对比

从图2可以看出,当QMC模拟的采样规模为200次时,节点电压、支路功率、电压相角的期望值均能很好地收敛,而LHS模拟则需要采样500次才可以勉强达到QMC模拟200次的计算精度.对于节点电压、支路功率、相角的标准差,500次QMC模拟就可以可靠收敛.对于PLF计算结果的期望值,LHS相比于MCS有比较好的收敛特性,但对于PLF计算结果的标准差,LHS收敛情况则与MCS的收敛情况差不多,QMC对于PLF计算结果的期望和标准差均能以较小的采样规模达到较好收敛效果.说明QMC模拟所采用的低偏差序列可以比较均匀地覆盖采样空间,提高采样效率.

3.1.2 QMC的模拟精度

在3.1节所建立的考虑风速相关性的IEEE14节点系统中分别进行采样次数为500次的QMC模拟,1 000次的LHS模拟,5 000次的MCS模拟,并绘制节点电压、相角支路功率的概率图形如图3所示.

图3 QMC、MCS、LHS 3种模拟方式下输出变量的概率密度和累计概率分布

由图3可得,采样规模500次的QMC模拟与5 000次的MCS模拟得到的结果几乎一致,而达到同样的模拟精度LHS需要进行1000次潮流计算,说明Sobol序列可以均匀地覆盖样本空间,克服MCS收敛需要大规模样本的弊端,以较小的样本达到较高的精度.同时说明在相同采样规模下QMC的模拟精度要远远高于其他两种采样方式.

3.1.3 相关性对于计算准确度的影响

考虑风速相关系数变化时9节点的电压的期望值与标准差的变化情况,具体情况见表1.

表1 9节点电压期望值与标准差

由表1可以看出,当ρs由0、0.1、0.3、0.5、0.7、0.9依次增加时,节点9的电压期望值变化率依次为5.828×10-6、8.742×10-6、7.771×10-6、6.799×10-6、6.799×10-6,节点9电压标准差的变化率依次为 0.018 814、0.033 783、0.031 622、0.029 834、0.031 299.由以上数据可以看出风速之间的相关性的不同取值,对于节点电压期望值的影响不大,而对于节点电压标准差的影响较大,基本随相关系数的变化呈现线性关系.风速相关性的增强使得同一地区风电场同时增加或减少出力的概率增加.对应在节点电压上,风电出力的同时性越强使得节点电压位于高电压段和低压段的概率增加,增大了节点电压发生越限的风险.

3.1.4 QMC、LHS、MCS 3种模拟方法CPU耗时

对比QMC、LHS均采样1 000次 MCS模拟20 000次的CPU耗时见表2.

表2 QMC、LHS、MCS3种方法的计算时间

由表2可以看出QMC模拟1 000次CPU所耗费的时间与LHS模拟1 000次CPU耗费的时间一致,说明本文所提的QMC模拟的有效性.

3.2 最优潮流计算

传统最优潮流(optimal powerflow,OPF)常描述为如下形式[18]：

式中,a0i、a1i、a2i为常规发电机组的成本系数;SB、SG、SR、Sl分别为系统所有节点、发电机、无功源、支路的集合;PGi、QGi为发电机i的有功、无功出力;PDi、QDi为节点i的有功、无功负荷;V i、θi为节点i电压幅值与相角,θij=θi-θj;G ij、B ij为节点导纳;PL为线路L的有功潮流.

本文在OPF计算中主要考虑风电场出力及负荷的不确定性,利用现代内点法解决等式约束与不等式约束条件下的非线性规划问题.风电场及负荷的概率模型如同3.1节,将改进的IEEE 30节点划分为两个区域A1和A2,如图4所示.A1区域在14和15节点接入两个额定容量为15 MW的风电场,A2区域在29和30节点接入两个额定容量15 MW的风电场,区域内风速秩相关系数取0.8,区域之间保持独立,采用QMC模拟法在处理OPF问题时,可以利用现有的确定性最优潮流模型,适应性好,相比于MCS方法可以以较少的模拟次数获得较高的精度.

图4 改进的IEEE-30节点系统

本文对比了不考虑风电出力及负荷波动、考虑风电出力及负荷波动但不考虑风速相关性、考虑风电出力及负荷波动同时考虑风速相关性这3种情况下系统进行OPF计算时的燃料成本及网损情况见表3.由表3可以看出,考虑新能源接入电力系统的OPF计算相比于传统电力系统,燃料成本下降了265.127$/h,网损下降了23%;考虑风电及负荷的随机波动后OPF计算相比于考虑风电及负荷确定性模型,燃料成本增加了125.791$/h,网损增加了3.2%;考虑风电出力及负荷随机波动及风速相关性的OPF计算相较于只考虑风电出力及负荷随机波动的情况燃料成本增加了1.259 4/h,网损增加了0.69%.

表3 3种场景下的系统最优潮流运行燃料成本及网损对比

以上分析可以看出风电接入电力系统可以有效地降低系统的燃料成本及网损,风速的随机波动使得风电场出力的实际值要比额定出力要小,考虑风速随机波动会使得风电场出力的等效值变小,使得系统燃料成本及网损增加.通过场景3与场景4的对比可以看出忽略风电出力的相关性会使得系统燃料成本及网损增加.忽略风电出力及负荷的随机波动,以及风电场风速之间的相关性会使得电力系统规划偏于乐观,对系统的经济调度与安全运行造成一定影响.

4 结 论

本文提出一种Copula理论和QMC相结合的PLF计算方法.在IEEE14和IEEE30节点上进行PLF和OPF计算,得到以下结论：1)采用Copula理论可以很好地处理输入变量之间的非线性相关关系,为新能源渗透率不断加大的现代电力系统分析提供了一个有效的相关性处理方法.2)QMC模拟可以提高采样的均匀性,解决了MCS方法的收敛需要大量样本支撑的问题,在相同的采样规模下QMC的模拟精度要远高于MCS与LHS模拟.3)风速相关性会增加风电场的出力波动,虽然对于节点电压、相角、支路有功、支路无功的期望值影响不大,但对于标准差的影响较大.同时IEEE-30节点的算例表明,忽略风速之间的相关性会使得运行规划人员对于电力系统的规划设计偏于乐观,增加系统运行风险.