基于提升直观想象素养的“函数的零点”问题初探

何开应

摘 要：直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程。主要包括：利用图形描述数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。

关键词：直观想象；函数的零点；分段函数

“函数的零点”是普通高中课程标准实验教科书数学A必修一 第三章第一节“函数与方程”中的内容。教科书是这样定义函数的零点：对于函数 ，把使 的实数 叫做函数 的零点。因此，函数零点的定义中充分体现出直观想象能力的要求。那么直观想象素养的提升在“函数的零点”问题中有哪些体现呢？

一、初等函数下的“函数的零点” 问题

在中学数学课程中，基本初等函数有以下六个：常量函数 （ 是常数）；幂函数 （ 是常数）；指数函数 ；对数函数 ；三角函数 。由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数。那么，初等函数下的“函数的零点”是如何体现直观想象素养的？

（一）可求出“函数的零点”问题

例1【12湖北理-9】函数 在区间 上的零点个数为（ ）

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7

【解析】令 得 ，则 或 ，

即 或 .

又 ， ，共有6个零点.故选C.

【初探一】对于可求出“函数的零点”的问题，常有两种题型：第一，根据函数的解析式，求出方程的根与函数的零点或零点个数；第二，已知函数的零点个数，求函数解析式中的参数值或参数的取值范围。

这一问题下的直观想象要求是：会画基本初等函数的图象，会根据图象找到其与x轴交点的横坐标。

（二）不可求出“方程的根与函数的零点”问题

例2【13天津理-7】函数 的零点个数为（ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

【解析】令 得 ，

即 ，

所以函数 的零点个数

即为函数 与 图像的交点个数.

在同一直角坐标系中画出函数 与

的图像如图所示，易知有2个交点，

即函数 有2个零点，故选B.

【初探二】对于不可求出“函数的零点”的问题，三种题型：第一，根据函数的解析式，判断方程的根或函数的零点所在的区间；第二，根据函数的解析式，判断方程的根或函数的零点个数；第三，已知函数的零点个数，求函数解析式中的参数值或参数的取值范围。

这一问题下的直观想象要求是：会将零点问题转化为两个函数图象的交点个数问题，会用变换法画函数的图象，会根据图象找到交点个数。

二、分段函数下的“函数的零点” 问题

例3【12辽宁理-11】设函数 满足 ，且当 时， .又函数 ，则函数 在 上的零点个数为（ ）

（A）5 （B）6 （C）7 （D）8

【解析】令 得 ，即 ，

则 在 上的零点个数等价于函数 与 的图像在区间 上的交点个数.

根据已知条件，函数 是偶函数，

且周期是2，在同一直角坐标系中

画出函数 与 的图像如图所示，

由图可知函数 与 的图像在区间 上的交点个数有6个，

故函数 在 上的零点个数为6个.故选B.

总之，数学是研究空间形式和数量关系的科学，需要抽象和概括，也需要直观和想象。通過直观想象核心素养的培养，学生能够养成利用图形思考问题的习惯，提升数形结合的能力，建立良好的数学直觉，理解事物本质和发展规律。

参考文献：

[1]李霞，黄凯.以函数零点的问题为例——谈数学核心素养培养[J].中国农村教育，2019（20）：192.