六枚硬币问题

崔海 黄鲁坤 申朋 李栋 刘晓雨

在高中数学里面，我们大体了解了什么是概率，以及一些涉及概率的基本问题。因为高考对于概率的难度要求并不高，所以很多同学可能会认为，概率的难度不过如此。那么，我们现在来探讨一下，用高中数学范围内所学过的概率内容，可以玩出怎样的花样。

我们来看这个问题：赛尔号的闯关关卡中，经常出现这样的关卡。建立数学模型后为：现在有六枚硬币，均为正面朝上，反面朝下的状态。每次随机翻动其中的三枚硬币，使得这三枚硬币的正反面状态改变，从数学期望上来讲，经过几次翻动，可以使得这六枚硬币全部变为正面朝下，反面朝上的状态？

这个题目咋看之下，难度是很低的，过程很简单，就只是翻动硬币，改变他们的正反面状态而已。但仔细一思考，有的同学可能就不知道下一步该怎么求了。其实我们完全可以慢慢思考这个问题。首先，我们探讨的是硬币的正反面状态，既然要求硬币的正反面状态，那么我们可以把所有正面向上的硬币和所有反面向上的硬币分成两组，并对各自的每一组一概而论，而不用对每一组内部的具体哪一枚硬币做出具体的区分。这样，我们就可以把现在硬币的状态设为（x，y），意为现有x枚硬币正面朝上，y枚硬币反面朝上，那么就有 x+y=6，且初始状态为（6，0）。接下来，就是翻动硬币的过程，在第一次翻动之前，由于只有六枚正面朝上的硬币，因此，第一次翻动硬币时，必定为将三枚正面朝上的硬币翻动为反面向上的硬币。……