拉格朗日中值定理在解题中的应用

周景芝

摘 要：本文对拉格朗日中值定理进行了叙述，然后举例说明拉格朗日中值定理在证明不等式，证明单调性，证明一致连续，证明导数极限中的应用。

关键词：拉格朗日中值定理;不等式;一致连续;导数极限

【中图分类号】O175.55          【文献标识码】A

函数的导数反映了函数在一点附近的局部性质，但要利用导数来推断函数在区间上的整体性质，还需借助于微分学基本定理. 微分学基本定理包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。微分中值定理可应用于解决下列问题：判断可导函数在给定区间内根的存在性和根的个数;对于给定的可微函数得到相应的中值公式，并可证明某些等式和不等式;推出可导函数的某些整体性质，如单调性，有界性，一致连续性，以及某些导数极限的性质;推导泰勒公式和求不定式极限的洛必达法则.

1. 拉格朗日中值定理

定理1 若函数满足下列条件：

（1）在闭区间[a，b]上连续;（2）在开区间（a，b）内可导，

则在（a，b）内至少存在一点，使得                （1）

公式（1）稱为拉格朗日公式，它还有下面几种等价表示形式，可根据不同场合灵活选用：

拉格朗日公式无论对于a>b还是b>a都成立，而则是介于a与b之间的某一定数.而（3）、（4）两式的特点，在于把中值点表示成了，使得不论a，b 为何值，总可为小于1的某一正数.

拉格朗日中值定理的几何意义是，在每点都有切线的曲线上，至少存在一条切线平行于两个端点的连线.

拉格朗日中值定理给出函数与其导函数之间的一种……