将数学史融入数学课堂的开发与实践

胡媛 盛艳萍 蔡诗靓

关于数学史对数学教学的价值，学术界已经有过广泛而深入的讨论。从知识目标上说，数学史帮助学生理解数学;从过程与方法目标上说，数学史提供了丰富的解决问题方法，可以拓宽学生的思维;从情感、态度和价值观的目标上说，数学史增加学生学习的兴趣、激发学生学习的动机、使数学变得更亲和、更令人愉悦、更激动人心。

那么，这些价值在数学课堂上究竟能否实现呢？我们初中数学通元识微工作室全体成员通力合作，在将数学史融入七年级下学期“三角形的内角和”教学中，通过课堂观察、问卷调查和访谈，收集学生的反馈信息，并结合专家和听课教师的意见，得出结论，从而对上述问题作出回答。

1 历史概述

三角形内角和定理有着悠久的历史。公元前6世纪古希腊哲学家泰勒斯（Thales）最早从拼图中发现了三角形内角和等于180°，但并没有给出证明。之后，毕达哥拉斯和欧几里得相继给出定理的证明。古希腊学者普罗克拉斯试图用下面的方法来证明这个定理：如图1，设AD和BE是垂直于AB的两条垂线。让AD和BE分别绕点A和B旋转，使得端点D和E相交于点C，即AD，BE和AB构成一个三角形。原来的两个直角∠A和∠B所减小的部分相加，恰为顶角∠C的大小。因此，三角形ABC的三个内角之和仍为两直角之和。

2 教学设计与实施

2.1 平行线的发现

由于在小学阶段学习时学生们已经知道“三角形的三个内角之和等于180度”这个结论，于是胡媛老师问：有什么方法可以验证这个定理？

学生们纷纷给出了“量一量、折一折、拼一拼、画一画”等动手方法。

老师提出质疑：这些方法可靠吗？看到180°，你能想到哪些知识？

当学生们回顾了“平角或邻补角的和是180°;两直线平行，同旁内角互补”等知识后，老师在电子白板上附加式地给出了法国数学家克莱罗的画像，并讲述他的故事，以此引入了教学课题。

之后老师在几何画板中画出一个?ABC，并让学生们注意观察三角形顶点C沿AC方向运动时角A、B、C的变化情况，如图2。通过几何画板的动态演示，学生们很快得出∠A保持不变，∠C越来越小，∠B越来越大。接下来，教师引导学生猜想：∠C和∠B其中一个角越来越小，而另一个角越来越大，那么它们的和是否保持不变。随后，老师请两位同学在几何画板上进行点C运动到无限远处时的情形模拟，于是大家发现AC与BC在无穷远处的位置关系是“近似”平行的，此时，?ABC的三个内角变成了一对同旁内角。

2.2 三角形内角和的说理

师：通过上面的橡皮筋方法，我们发现了三角形内角和等于180°，但是，这个结果是否正确？我们还需要进行严谨的说理。如果有了平行线，大家能得到这个定理的说理方法吗？

通过学生分组讨论得到三种方法：

方法1：如图2，过点C作CE∥AB（即将CE看作橡皮筋），则

∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等）

∴ ∠ACE+∠BCA+∠B =180°（两直线平行，同旁内角互补）

∴∠A+∠B+∠BCA =180°（等量代换），即三角形的内角和等于180°。

方法2：仍如图2，延长BC到点D，过点C作CE∥AB（仍将CE视为橡皮筋），则

∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等），

∠ECD=∠B（两直线平行，同位角相等），

∵ ∠ECD+∠ECA+∠BCA =180°（平角的意义）

∴ ∠A+∠B+∠BCA =180°（等量代换），即三角形的内角和等于180°。

方法3：如图3，将AD视为橡皮筋，过A作BC的平行线，即过点A作直线DE∥BC，则∠DAB=∠B，∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等），

∵ ∠DAB+∠EAC+∠BAC=180°（平角的意义），

∴ ∠B+∠C+∠BAC=180°（等量代换），即三角形的内角和等于180°。

师：同学们，你们知道吗？方法1就是克莱罗的方法，方法2就是欧几里得的方法，方法3就是毕达哥拉斯的方法。看看你们和哪位古代数学家想的一样？

3 教学反思

首先，通过克莱罗的故事，激发学生的学习动机。HPM视角下的教学设计的原则之一是趣味性，而要体现趣味性，需要融入人的元素，使所教主题人性化。

其次，在整个探究过程中，学生仿佛穿越时空，与历史上的数学家进行着时空“对话”，数学家能做的，课堂上的他们也能做到，这就克服了他们对说理论证的“心理恐惧”，增加了学习几何论证的信心，成為学习的主人。

再次，培养学生“求真”的精神。让学生经历探究、发现、说理论证的过程，实际上培养了他们的理性思维，而这正体现了几何学的重要教育价值之一。

最后，让学生揣摩克莱罗的橡皮筋演示法，实际上就是让学生克服“自我为中心”的思维习惯，走进另一个时代、另一个文化背景中的数学家的心灵之中。

本案例表明，HPM视角下的数学教学能够较好地实现数学教学的三维目标，数学文化的渗透、数学史的融入，为初中数学教师提供了一片广阔而迷人的天地，值得我们继续去学习、探索和应用。