射影几何观点下的椭圆蝴蝶定理对合证明的讨论

王婷 赵临龙

摘 要：利用射影几何的对合交比不变量关系，给出二次曲线的蝴蝶定理证明，并且利用中心投影和仿射变换，证明椭圆蝴蝶定理。

关键词：射影几何;对合;交比;不变量;蝴蝶定理;证明

《高等几何》在几何问题研究中，发挥重要的工具作用。如利用对合“交比”研究“蝴蝶定理”的证明，可以给出有趣的证明方法。

1 交比概念

1.1 点列交比[1]

设A、B、C、D为一直线点列中的四点，则有交比（AB;CD）=AC·BDAD·BC。式中线段都为有向线段，其中A、B称为基点偶，C、D分点偶。

1.2 线束交比[1]

设a、b、c、d为一点为线束中的四条直线，则有交比（ab;cd）=sin（a，c）·sin（b，d）sin（a，d）·sin（b，c）。式中角度为两直线夹角，其中a、b称为基点偶，c、d分点偶。

交比有如下性质：交换基点偶和分点偶的位置，交比不变。[1]

点列交比与线束交比有关系：[1]

（1）若线束中的四条直线a、b、c、d被任意一直线s截于A、B、C、D四点，则（ab;cd）=（AB;CD）。

（2）二次曲线上的两线束的交比为不变量。

1.3 射影对合[1]

非恒等的一维射影变换，若任意一对对应的元素都交互对应，则该射影变换称为对合变换（简称对合）。

对合有如下性质：[1] 对合式可以写成下列两种范式之一：（1）μμ'=k（常数，且k≠0）;（2）μ+μ'=0。

2 蝴蝶定理介绍

蝴蝶定理 如图1.设O为圆内弦MN的中点，过O作弦AB和CD。设AD和BC各相交MN于点P和Q，则O是PQ的中点。

图1图2 图3

蝴蝶定理最早出现在1815年在英国的一份通俗杂志《先生日记》（Gentleman's Diary）征解栏内刊出，不知是编辑大意还是其它原因，未能提供命题人的姓名。1944年第2期的《美国数学月刊》，由其外形结构将它称为“蝴蝶定理”。[2]

在蝴蝶定理中，如去掉“中点”的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式。它最早于1896年，由A.L.Candy给出。……