关于中学阶段自然科学中平衡与极限的推论与证明

摘 要：基于生物学中种群密度在环境容纳量附近波动；化学中反应无法进行到底；物理学中热力学第二定律；提出四条关于平衡、振动与极限之间关系的推论以及一些相关推论。

关键词：平衡；振动；极值；不可逆过程

1 生态系统中的环境容纳量

1.1生态系统的环境容纳量（即K值，下文皆以K值表示）指环境条件不受破坏的情况下，一定空间所能维持的最大种数数量。[1]在环境条件稳定、K值一定的情况下，种群数量会在K值附近波动，种群数量偏离K值时，会通过负反馈调节使种群数量回到K值。

那么负反馈调节的动力来源于哪里？环境条件稳定，在理想条件下可以表述为：输入体系的能量恒定，消耗量相同，即体系内部总能量代数和恒定，所以一定不来自外界，那就只能来自内部。种群密度增大，种内斗争加剧，资源减少，使种群密度下降；种群密度下降，种内斗争减弱，则种群密度回升。当种群密度達到K值时，种群密度与环境条件还有一定的增长或减少的速度，故无法永远停在K值，于是就在K值附近不停地做小幅度的振动。另外，内部总能量的代数和恒定，则能量在种群密度、种群密度改变速率、环境条件三方面相互转化，维持守恒状态。

所以可以总结出——在生态系统中种群密度接近K值时，会凭借生态系统内部能量的转移与转化，使种群密度在K值附近做小幅度振动，且这种振动若无外界干扰，则永不停止。

1.2如果在种群密度关于K值做小幅度振动时，给生态系统一个干扰使单次振动的波峰远大于原振动波峰，接下来种群密度会急剧下降，K值会出现在一个远低于原K值的位置，种群密度又会关于该新的K值小幅度的振动。种群密度突然变大导致环境条件被破坏，即可提供给体系的能量减少，又因为消耗量未变，故1.1中提到的三方面能量转化守恒的关系被破坏。为了保证尽快达到新的平衡，属于种群密度中的能量迅速、大量且不可逆地转移到环境条件中，以使总能量代数和尽快达到新的平衡。因为K值代表的是种群密度的平衡位置，是种群密度的平均水平，故亦只能下降。

但如果这个干扰使种群密度的振动在波谷方向过大，就会有两种可能性，一是环境条件借此机会得到提升，使K值向上移动，以使得能量代数和再次恒定。二是环境条件已经达到最佳状态，故K值无法上升，种群密度又会恢复到原有水平。

根据上述情况做出以下总结——以一个干扰使波峰（或波谷）远离K值，K值有向该远离相反的方向移动的可能性。

1.3许多细胞存在接触抑制，所以即便是在一切条件都极其充裕、空间一定的培养基上，细胞（不考虑癌细胞及细胞癌变）总会有一个只可短时达到的数量。培养基的一切条件完全过量，即可以提供给细胞的能量无限，但数量依旧存在极限，说明限制K值与种群密度最大值的，并不是三种形式能量代数和，而是单个细胞所具有的空间。

另外，在1.1中提到过生态系统中，种群密度关于K值的振动是永不停息的，所以即便是环境条件极其充裕，种群密度也不会始终停留在K值。

以此做出总结——生态系统中总有某种条件限制K值的长大，K值只能从下方逐渐接近极值；而关于K值振动的种群密度曲线可以与极值相切，但不能长期保持该状态。

1.4一个生态系统内，因为种群密度过大而使环境条件恶化，导致K值下降，这个变化在短时间内是不能恢复的，即不可逆。但由于生态系统中存在恢复力稳定性，可以在较长时间内使环境条件逐步恢复到原有水平，故K值亦可恢复。

故得出以下总结——K值降低在短时间内是一个不可逆过程；但在较长时间内却是可逆的。

2 化学体系中的反应平衡

在化学与物理部分中，均将借助1中的四条结论进行延伸，并对新结论进行证明。

2.1在反应体系接近平衡时，有三种或多种微粒相互转化，使得每种离子的浓度均在平衡附近做永不停息的小幅度振动。

向1L1mol/L的Na2CO3溶液中逐滴加入0.5L1mol/L的HCL溶液，只能产生0.5mol 的HCO-3，CO2-3与H+ 结合的能力是相同的，那如何确定是由哪部分CO2-3与H+结合呢？我们用一个理想化的过程推导一下。假设0.5mol 的H+ 排成一条直线逐个加入，第一个进入溶液的H+必定与最近的CO2-3结合。由于分子热运动，该位置立即被其他CO2-3取代。作为体系中唯一拥有电离能力的离子（不考虑水的电离），HCO-3下一步只有一种可能——电离。

虽然电离有平衡常数，但由于这个离子的唯一性，则其无论电离平衡常数的大小，必定电离（这个问题将在4中证明）。这个H+ 可能会在水中游离，也可能与附近的CO-3结合。随着H+逐渐加入，HCO-3浓度增大，HCO-3的电离与H+和CO2-3的结合同时增强。H+不会只与某个特定的CO2-3结合，而是在不停地电离与结合，而且不会同时有两个H+和CO2-3结合。根据以上的推导，给出一个没有严格代数关系的平衡关系：

这只是一个简明的表达该平衡的方式，A、B表示不同的CO2-3。这说明H+、CO2-3、HCO-3 在平衡位置附近的相互转化中始终保持代数和恒定。

2.2以一定的干扰使平衡体系中某种微粒浓度的变化量远大于原关于平衡的振动幅度，则平衡存在向使减少这种微粒方向移动的可能性。

实际上这一条就是对勒夏特列原理（平衡原理）——如果改变影响平衡的条件之一，平衡则向能够减弱这种改变的方向移动[2]——的概括。

接下来我们对2.1中的体系做一个定量的深入分析，为了方便，认为生成的H2CO3全部分解为H2O与CO2。当H+数量为初始CO2-3数量的0.5—1倍之间时，平衡不会有太大的移动，只是三种离子数量的代数和增大，而当H+数量达到初始CO2-3的1倍后，开始产生H2CO3了，而产生的H2CO3不再会电离产生H+和HCO-3，而是直接分解成H2O与CO2，其中CO2 以气体形式从体系中脱离，故再次达到平衡时，三种离子的代数和大幅减小，使平衡位置有明显的移动。

聯系1.2中K值发生变化的原因与过程可以做出如下推断：干扰使关于平衡振动的某一个波峰的振幅变大，达到易发生与恢复振动不同的反应或过程，以致于相互转化的守恒关系被打破，最终造成了平衡移动。

2.3反应体系中，总有某种条件限制平衡的移动，平衡只能接近而不能达到极值；粒子关于平衡的振动的波峰可以与极值相切，但无法长期保持该状态。

如果在2.1体系中加H+至完全过量，又会如何呢？绝大多数CO2-3都结合两个H+并分解成H2O与CO2从体系中分离，但不论H+过量到何种程度，CO2-3均不会被反应完全。如2.1中第一个HCO-3一样，最后一个HCO-3也是体系中唯一可电离的研究的离子，所以此时电离平衡对它无意义。当CO2-3结合H+ 成为最后一个HCO-3后，就只能再度电离CO2-3，即H+无论过量程度，均不可能与CO2-3彻底反应。

平衡，代表了微粒数量振动的平均水平，也是可人为观测的数量指标，正如前一段所述，振动的波峰峰值只能在短时间内恰好达到极值，则代表平均水平的平衡则无法达到该极值。

另外我们再对过量情况进行分析，当H+的量为CO2-3初始量的2倍时，CO2的生成量必定小于1mol，因为溶液中有电离限制CO2的生成，随着H+物质量的增大，CO2-3逐渐减少，即当存在某一条件限制平衡移动时，其它影响平衡移动的条件过量程度越大，则平衡越靠近极值，当平衡接近极值时，关于平衡的振动不再连续，此时平衡就不再能表示量的多少了，其表示的是该微粒存在时间占总时间的比例。所以说向2.1体系中加H+至过量过程中，CO2-3的物质量随H+物质量变化的曲线是类似于反比例函数的曲线。

2.4小范围内平衡的反应是不可逆的，大范围对小范围做功时可逆。假设，2.3的反应发生在一个体积一定的密闭容器中，虽CO2无法大幅扩散，但根据力学第二定律——气体向真空扩散的过程是不可逆的。[3]所以CO2不可能自发地回到溶液中，只有用外力压缩容器，才能使CO2重新回到溶液中，如果存在一个H+选择透过膜，则该外力会迫使H+从该选择透过膜离开体系，恢复原有平衡。

3 物理过程中的平衡

3.1外界不提供能量时，一个平衡体系中会存在三种或多种能量相互转化，使系统平衡。但系统内部不平衡，且相互转化的能量代数和恒定。

我们可以设计一个实验来验证这个说法。将弹簧一端固定在天花板上，另一端连接右侧为圆形凹镜面的小物体，并与点光源、光屏共同构成如图所示的装置（一）。将物体从任意非平衡位置释放，使物体运动范围不超过弹簧弹性限度。由于多方面原因，物体的振幅会逐渐减小，最后会以肉眼无法观察的幅度在平衡位置附近振动，但任何反射光斑在光屏上的移动就可以发现。

实验中，弹簧的弹性势能，物体的重力势能、动能相互转化，维持守恒状况。

通过实验，又可以得到一个结论——三种或多种能量相

互转化，即使能量守恒，也不可能完全平衡（只剩两种能量且这两种能量相等）。

3.2平衡系统内能量相互转化且在平衡附近振动，一个干扰使某一种能量改变量远大于振动幅度，则平衡存在向该能量改变相反方向移动的可能性。

如果将装置（一）中引力场改为电场，并调节电场以改变物体所具有的电势能，不难发现，减小物体所带电势能，系统总能量代数和减小，内部能量转化的守恒关系被打破，此时一部分弹性势能向电势能转移，于是物体向阻止电势能减小的方向移动。

纵观1.2、2.2、3.2这三条均为对平衡原理在各学科中的解释与说明，在这里再对平衡原理进行一部分扩充。

确定平衡移动的大小有两大要素。一是改变条件的程度，二是原平衡位置与改变的方向，若改变程度较小，则原有振动过程没有被打破，平衡的移动就是减弱该改变；若改变程度较大，使物体达到了发生其它反应或过程的活跃的状态，则由于能量的代数和发生较大改变而使平衡移动远超之前的改变量。若改变指向接近极值时，则多数平衡的移动量大于原改变量；若指向非极值侧，则多数平衡移动量小于改变量。

一句话概括——物体总有趋向达到最容易达到的平衡的趋势。

3.3在平衡的系统中，总有条件限制平衡向极值移动，使其只能接近而无法达到，关于平衡振动的波峰可与极值相切。

做为一个平均值，振动只能达到而无法超过的极值，平衡是不可能达到的，装置（一）亦可解释，因为始终不超过弹性限度，故只有振动的波峰可以达到弹性限度这一极限而平衡无法达到。

3.4涉及热现象的过程狭义上不可逆，广义上可逆。这一条只是热力学第二定律的另一种表述，在生物、化学、物理中反复提这个，只是为了证明涉及热现象的过程是否可逆，完全取决于系统的封闭性。如果系统完全封闭，不接受任何形式来自外界的热传递，则内部的过程是不可逆的；但在消耗外界能量时，该过程变得可逆。

另外还要提到的是，如果一定的熵变对应地发生了一定的焓变，则使熵变恢复的过程需要发生比之前大的焓变，这也说明宇宙可能走向热寂。

4 极限附近概率成立的证明

给出这样一个情境：只有一个人参加抽奖，主办方设立一个奖项，并要求不论人数，奖券必须全部使用。则无论奖券多少，此人均会获奖，也就是说——在一定条件的限制下，随着自变量增大，因变量接近极值，所有充足的条件都会用于使因变量接近极值，同时亦使概率失效。

何出此言？2.3中提到，极限附近关于平衡的振动是不连续的，对于宏观的、数量庞大的物质，概率具有一定的统计意义，谈论少数几个离子的电离平衡常数这种统计数据作为概率的数字，就如同探讨几个原子的半衰期一样毫无意义。

我们再分析一下半衰期这个问题，半衰期是一个典型的统计性概率。如果将一块放射性物质完全均分，则分开的这两部分经过一个半衰期各有一半原子衰变，如果不停地分割下去，则最后得到一个结论——衰变和未衰变原子就像NaCL晶胞那样完全均匀地间隔分布在整块物体中，很显然这是绝对不可能的，因为关于半衰期给出一个原子衰变的概率，是出于对整体统计后用频率代替概率，但这对原子来说是不成立的——原子衰变的概率只有1或0，不可能有其它值。

5 關于四条推论的描述

（1）当因变量接近平衡B（后文皆以B表述）时，若无无关因素干扰，因变量会关于B做小幅度且永不停息的振动。

（2）一定干扰使关于平衡的振动从一个方向的振幅远大于原振幅，新B相对原B存在向相反方向移动的可能性。

（3）总有一个与自变量相关性弱的条件限制B的移动，并使B存在无法达到的极值（L值）；关于B振动的波峰峰值（T值）可短暂地与L值相等。

（4）一切狭义上不可逆现象，广义上可逆。

6 相关推论的延伸

（1）无法通过优化资源条件细胞数量超过接触抑制的最大值。无法通过增大一种反应物的浓度使另一种反应物完全消耗。无法通过低于光速的加速使物体速度达到光速。

（2）三种形式能量相互转化且守恒，不可能使能量全部转化为两种能量且能量相等。

（3）在B接近L值时，关于B的振动是不连续的且不易观测的，概率无意义，其中B的变化表示两种不同状态的时间之比。

7 推论应用的猜测

7.1 对光速不变原理的解释

在物体达到0.1c后，相对论效应急剧增强，物体大量向外界辐射电磁波，增大加速消耗，此时L值为c，实际可观测速度为B，实际运动速度的峰值为T，因为T值无法超过c，故B的值始终无法达到c。

若该物体为光子，则B值为c，L值略大于c，光子实际运动速度关于c振动，则形成密部与疏部，构成纵波，则既保证光沿直线传播，又保证光的波动性。

7.2 对热力学第三定律的解释

因为物体具有的能量不可能为负值，所以L值为0开尔文，T值可短时达到0开尔文，故无法通过有限次降温使物体达到0开尔文。

8 总结

如果我们留心，会发现一切过程均可用一个普适方程表达：过程量状态量，即因变量的变化量与变化路径无关，只与自变量初末状态有关，这样的方程确实便于分析一个极宏观的过程，十分简明，但是进行精确分析与计算时，它的弊端就体现出来了，在远离极限时，过程的分析是可以粗犷的；但在极限附近，必须搞清过程才有可能做出突破。

另外，当从诸多方向都无法突破某一极限时，不妨停下用各种资源的堆砌，去寻找限制平衡移动的条件，也许可以事半功倍。

参考文献：

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，生物课程教材研究开发中心编著.普通高中课程标准实验教科书，生物3必修，遗传与稳态.人民教育出版社出版.

[2]人民教育出版社，课程教材研究所，生物课程教材研究开发中心编著.普通高中课程标准实验教科书，化学4选修，化学反应原理.人民教育出版社出版.

[3]人民教育出版社，课程教材研究所，生物课程教材研究开发中心编著.普通高中课程标准实验教科书，生物选修3-3，人民教育出版社出版.

作者简介：武嘉旗（1999-），男，汉族，山西太谷县人。