移动的串联多Agent系统干扰影响研究

江 帆，张晨洁

(1.江苏联合职业技术学院 苏州工业园区分院， 江苏 苏州 215123；2.长春理工大学 电子信息工程学院， 长春 130022)

无人车队控制理论的研究不仅具有实际意义还具有重要的工程应用价值，由具有一般特性的交通流模型分析出其基本规律，通过数值模拟以及公式推导得出模拟参数取值的范围，通过实例显示了扰动的传播规律。

交通流从自由流到拥挤流的演变是一个强非线性的复杂过程，具有多种不同的表现形式。在密度和流量都远未达到饱和的条件下，一定的扰动也会引发拥堵，这不同于传统意义下道路瓶颈产生的堵塞，其中每辆车在列队中都有相对于前一辆车的位置误差。在这样的系统中，一个小的扰动作用于一个成员可以传播到下游，并造成车辆之间的大间距误差。

许多科学家对这个问题提出了许多有价值的研究， H.W.Bode[1]给出的经典积分公式对反馈控制系统的性能提出了基本的限制。对于离散时间单输入单输出(SISO)线性定常系统，假设开环系统是合理的，且严格适用。无论采用何种线性定常(LTI)控制器来稳定系统，系统对外界干扰的灵敏度在所有频率下都不能变小。对于更一般的控制设置，包括多维、非线性和时变系统，也得出了类似的性能限制。但是，仍然缺少将Bode的积分公式推广到分布式控制的方法。一般情况下，分布式控制问题是NP-hard[2]，因此在此设置中等效Bode的积分公式尤为重要，因为它可以为评价实际控制设计提供有用的工具。

在此考虑的是一个一维无人车队控制问题，目标是在保持一定编队[3]，将一列车辆从一个点移动到另一个点。领先车辆的目标是遵循特定的参考轨迹，而后面的车辆的目标是相对于它们的前一辆车保持一个恒定的间距。早期对这个控制问题的兴趣是由自动化高速公路系统(AHS)等应用提出的，对这些应用来说，集中控制是不切实际的。它们的控制律不同(例如，线性与非线性)，更重要的是，它们的信息流结构[4]也不同。已知存在随着车辆数量的增加而导致一串不稳定的信息流结构，因为作用在排长上的小扰动在沿队列传播时会被放大。我们关注的是信息流结构[5]的“先有后有”，其中每辆车只访问前一个车的输出，并使用间距误差作为控制器的输入。在这种情况下，我们的目标是研究连续车辆之间的间距误差对随机干扰影响领导者的测量的敏感性。

综上所述，本文的贡献是研究了无人车队控制系统的性能限制问题。给出了一个与控制器无关的对数灵敏度函数积分下界，表明随机扰动对前导的影响不能沿着列队任意衰减。这个边界适用于一类严格包含LTI控制器的非线性控制器[6]。讨论下界的封闭性，并给出了数值结果，说明下界对实际控制器设计的重要意义。这一结果的证明技术依赖于信息论工具，这些工具可用于推导其他分布式控制问题的相似边界。

1 灵敏度函数积分下界模型

1.1 无人车队系统的基本模型

无人车队模型对预测交通系统有着重要的实际意义，拥堵在交通中是一个重要现象，当交通系统中存在扰动时会造成严重的交通堵塞。因此，建立无人车队控制系统的模型是为了解决其动态稳定问题，需要明确哪些状态对扰动传播会产生反应。对无人车队控制系统[7]的扰动传播分析，考虑由M+1个控制单元组成的一串相互连接和动态耦合的单输入单输出(SISO)系统，如图1所示。

图1 两个子系统组成的无人车队(M=1)

图1中，P表示每辆车辆的控制系统单元，K表示相应的控制器。

H.W.Bode在文献[1]中提出的经典积分公式为

(1)

式中：S(ejw)为输入输出灵敏度函数；λi为开环系统的极点，假设开环系统是合理的，且严格适用。

第i个控制单元(0≤i≤M)的动力学模为

xi(k)=AiXi(k-1)+Biui(k-1)

yi(k)=Cixi(k)

(2)

其中：xi(k)∈Rni为系统状态，yi(k)∈R为系统输出，ui(k)∈R为控制输入。例如，输出表示车辆沿直线的位置。领头的车辆的目标是跟随一个参考命令信号r0(k)，其输出y0(k)假设被反馈回路中的随机扰动d(k)扰动。对于一个给定的常数δ，每个跟随的车辆i(1≤i≤M)旨在调节其输出yi(k)满足yi-1(k)-yi(k)=δ，时间步长为k。

连续车辆的间距误差：

e0(k)=r0(k)+d(k)-y0(k)

ei(k)=yi-1(k)-yi(k)-δ,1≤i≤M

(3)

在k时刻，第i个控制器接入ei(0),ei(1),…,ei(k)由式(4)产生因果控制信号：

(4)

1.2 积分下界模型的基本假设

假设在式(4)中可能的非线性控制映射ui,k使得描述闭环动力学的随机过程具有定义良好的连续联合概率密度函数[8-9]，并且是渐近平稳过程。此外，具体技术假设如下：

ui,k(ei(0),…,ei(k-1),x)

(5)

(6)

为了处理扰动过程的随机性，采用了Martins等[9]的方法，并采用了渐近平稳随机过程的灵敏度概念。如果随机过程的任意n维分布不随时间起点变化[10]，即当时间平移时，其任意n维概率密度不变，则为渐进平稳随机过程。

灵敏度函数Sx,y(w)的两个渐近平稳随机过程x和y与功率谱密度φx(ω)和φy(ω)被定义为式(7)所示：

(7)

参考的文献[9]讨论的主要是灵敏度函数属性Sx,y(ω)及其与经典的输入-输出灵敏度函数的关系。

本文的目的是给出间距误差过程ei,0≤i≤M，对d的对数灵敏度积分的下界：

(8)

2) 所有的闭环子系统都是稳定的。

3) 所有的控制单元都是严格合适的和可观测的。

4) 单元模块的初始条件是具有有限微分熵的随机变量，xi-1(0)→xi(0)→xi+1(0)形成马尔可夫链。此外，x0(0),…,xM(0)独立于扰动过程d。

5) 扰动过程d为渐近平稳高斯过程。

在本文中，用vi∈N表示第i个单元的相对程度，即，在传递函数ui到yi的分子和分母上的主导系数的比值。用ti表示到单元i的相对程度之和，如式(9)所示：

ti=v0+v1+…+vi

(9)

2 初步结果

2.1 引理的列举及证明

为证明所提出的主要定理需要以下引理：

引理1让假设(2)～假设(4)成立。

(10)

引理1的证明与文献[9]中的引理4.1中的证明步骤相同。文献[9]中的引理1和引理4.1的主要区别在于对添加扰动的假设。而在考虑的系统模型中，在采取控制动作之前，先将外部干扰yi-1添加到系统输出中(图1)，可视为影响输出yi的测量噪声，文献[9]中的问题设置假设扰动过程被加入到控制输入中，可以认为是直接影响装置的系统噪声。

引理2让假设(1)～假设(4)成立。对于每个0≤i≤M和k足够大。

Ui,k+h(d(k-ti)|dk-ti-1)

(11)

其中

(12)

式(8)中的界限可以解释如下。由于微分熵[12]的可标度性和假设(1)，当扰动d在交通流队列中从第j个车辆传播到第j-1时，条件微分熵h(d(k-ti)|dk-ti-1)的可标度为式(13)。

(13)

其中第一项只依赖于第j个线性系统的动力学而第二项依赖于第j个控制器它将ej映射到uj。因此，式(11)通过迭代累加到第i个控制器的所有比例因子式(13)得到。

有一些重要的控制器类可以用式(12)一个紧凑的闭合达式来表示。例如，考虑这样一种特殊情况：根据以下稳定的离散时间LTI动态系统递归地形成控制输入ui。

(14)

其中zi是已知初始条件z0的控制器内部状态。从式(14)可以看出，zi(k)是ei(0),…,ei(k-1)的一个线性函数：

(15)

对于每一时刻的k，在这种情况下(11)的右边就等于式(16)。

(16)

引理3让假设(1)～假设(4)成立。然后，对于每个0≤i≤M都有：

(17)

其中

(18)

注意式(17)的右边由3项组成。前两项表示交通流中第i个控制器之前的几个所造成的缩放效果。第3项量化了从初始条件xi(0)到第i个跟随车辆的控制器输入的信息流。

2.2 无人车队控制系统的限定定理

将给出的3个引理与最大熵定理[13]相结合，即得到扰动传播性能的下界如式(19)。

定理1当假设(1)～假设(5)成立时，对于每一个0≤i≤M。

(19)

下面的推论提供了定理1的界是封闭的条件。

3 数值验证

3.1 定理的评估与分析

评估在文献[10]中研究的特定设置中间距误差的灵敏度函数和时间响应。考虑一个由五辆车组成的队列，即M=4，其中每辆车建模为具有一阶执行器动力学的双积分器[11]，其动力学描述为连续时间开环传递函数：

(20)

在某列车辆中第一个控制器的目标是跟踪低频参考信号。

(21)

此处，r0(t)模拟了这样一个场景：前导车辆从静止加速到12 m/s，加速度为2 m /s2，然后保持恒定速度。将作用于前导的扰动过程d建模为一个标准的高斯白噪声过程。下面车辆的初始位置设为(-0.1,0.1)均匀分布。

假设每辆车使用相同的LTI控制器。具体地说，由于控制器的不同导致了车辆行进过程影响中间距误差的因素不同，为研究间距误差的灵敏度函数和时间响应则需比较两个控制器的性能，其特征是连续的时间传递函数，K1、K2分别为控制器1和控制器2：

(22)

分别计算定理1中给出的对数灵敏度函数的下界，很容易看出K2对应的下界小于K1对应的下界(因为K2中的控制增益较小)。因此，根据定理1，我们期望K2具有比K1更好的干扰抑制性能。

3.2 仿真结果验证

通过上述分析，对定理1进行数值验证。先对两个控制器的灵敏度进行对比，由增益随频率的变化来反映控制器的灵敏度，得出抗干扰性能的强弱。其次又对有无噪声条件下控制器的间距误差性能进行对比分析，通过仿真图得出结论。

上述系统以4 Hz的采样速率离散化。图2(a)和图2(b)分别为K1(控制器1)和K2(控制器2)的灵敏度函数和互补灵敏度函数增益的变化，需要注意的是，在文献[10]所示的在所有频率下都不可能实现干扰衰减。同时，从图2(a)中灵敏度曲线可以看出，K2在低频下性能较差，即在低频时，控制器2对应的灵敏度大于控制器1对应的灵敏度。然而，从图中还可以看出，虚线下的面积小于实线下的面积，反映出K2总体上具有更好的抗扰性能，验证了定理1的有效性。K1和K2之间的性能差异表明跟踪性能和噪声抑制之间存在张力。

图2 控制器K1和K2的误差传播性能

图3(a)为可视化这种张力的方法[14]，该图展示了假设d=0队列中任意两个连续车辆之间的间距误差，即领头的车辆没有受到干扰。在无噪声干扰的这种情况下，可以看到K2比K1有更差的跟踪性能(更大的间距误差)，因为r0(t)的功率含量在低频段。然而，当干扰d为高斯白噪声过程时，如图3(b)所示，控制器K1的性能迅速下降，且比K2更差。在实际应用中，由于测量噪声等影响，反馈回路中会产生噪声。这里提出的结果与这种情况有关。

图3 间距误差

4 结论

本文研究了具有信息流结构的无人车队控制系统扰动传播问题。利用信息论技术，推导了随机扰动作用于车队的跟踪误差对数灵敏度函数积分的下界。这个边界适用于一类非线性的控制器。通过数值算例判断了下界的封闭性并验证了理论结果的正确性。

实验结果表明：本文所描述的为一般分布式控制系统边界。未来的工作要将所提出的结果扩展到MIMO系统，因此，未来研究的另一个方向是对不同信息流结构的扩展。