平面向量在数学中的若干应用

陈伟龙

一 、引言

平面向量在数学、科学技术中有着非常广泛的应用，它是近代数学中最基本和最重要的概念之一，是沟通几何、代数、三角等基本内容的桥梁，还是研究力学、电学和其他自然科学的有效工具。从数学的发展史来看，在相当长的一段时间内向量并未引起數学家们的重视，直到20世纪初被引入到中学数学。我国是在1996年高中数学大纲中引入了平面向量的，而近几年，平面向量已经成为高中数学中必不可少的一部分，尤其最近几年高考数学中的比重逐年增加，更是对不少题目的解题提供了捷径。本文通过若干实例来谈一谈平面向量在中学数学中的应用，以求更简便地解决数学问题。

二、向量在不等式证明的应用

在解决数学问题中，不等式证明题是比较难的，是很多同学们最头疼的问题，如果能够巧妙利用向量的知识，就能做到化难为易既简便又快速。

例1：设a，b，c，d∈R，求证（a3c+b3d）2<（a6+b6）（c2+d2）

证明：设向量m→=（a3，b3），n→=（c，d），再设向量m→与n→的夹角为θ

则（m→·n→）2=（a3，b3）·（c，d）2

=（a3c+b3d）2=m→n→cosθ2

即（a3c+b3d）2<（a6+b6）（c2+d2）

点评：对于传统的不等式的证明要用到分析法、综合法、作差法等各种“技巧”，证明的过程会比较冗杂而恰恰利用向量的数量积的定义，便能使整个证明过程简明扼要，从而节省时间而且使数学更加有趣。

三、向量在立体几何中的应用

立体几何是数学考试中必考的内容，由于一些题中图形比较复杂，需要学生有很好的空间想象能力，因此在解立体几何的题目时，很多方法相当繁琐，对那些空间想象能力较差的同学就难于进行求解。……