基于热传导模型的多层高温服装温度分布研究＊

池睿洁，于国龙，冯蓉，毛建超，周广

基于热传导模型的多层高温服装温度分布研究＊

池睿洁，于国龙，冯蓉，毛建超，周广

（贵州师范学院 数学与大数据学院，贵州 贵阳 550018）

针对高温作业服装设计问题，对高温服装的纺织材料层的物理属性、传导方式以及材料参数等主要因素进行分析，利用假人皮肤原始测量数据多项式函数拟合结合热传导方程，进而构建多层织物热传导模型。对其所设环境温度，通过有限差分方程求解各材料层的温度分布，实际案例结合二分法模型设计出实际工作时间范围内各材料层的最优厚度。

热传导模型；傅里叶定律；有限差分；温度分布

根据2018年全国大学生数学建模竞赛A题[1]所给信息，设计高温环境下专用服装。将假人放置在体内的温度控制在37 ℃，外部环境处于高温环境，测量假人皮肤外侧的温度分布。

针对于服装的导热模型研究问题，本文主要对其外部环境、材料属性对假人皮肤外侧温度分布影响进行研究，建立相关热传导模型，运用有限差分法对其所建模型求解。

本文在已知皮肤外侧原始温度的前提下，建立有效的模型进行问题的解决，运用题给[1]原始数据与模型所求解数值进行数据拟合，根据拟合程度检验所建模型的有效性。根据所建模型，进而讨论求解厚度优解，采用二分法模型结合初始所建一维热传导方程模型，根据题给厚度初步设定厚度初始范围，依次迭代，最终得到最优厚度。

1 模型准备

根据2018年全国大学生数学建模竞赛A题[1]提供的数据，其中已知题目所给出服装各材料层的参数值、原始所测假人皮肤外侧的测量温度以及所需环境温度等条件。根据所给的原始所测假人皮肤外侧的测量温度，利用其MATLAB软件进行数据分析，得到其假人皮肤温度与时间关系，如图1所示。

由图1可知皮肤外侧温度初始值为37℃，稳定值为48.08 ℃，图像趋势呈三次曲线函数。

由此，运用MATLAB软件中函数工具进行多项式函数拟合，得到拟合函数[2]为：

2 数学模型建立与求解

2.1 模型建立

根据题目所给信息[1]，可以进行如下假设：①在进行测试时，外部环境温度保持恒定不变；②温度在传递过程中，只存在热传递这一传导形式；③温度传递过程中，各材料属性不会因为温度变化而改变。

基于以上假设条件，对其专用服装各层织物材料第Ⅰ层、第Ⅱ层、第Ⅲ层及第Ⅲ层与皮肤之间空隙的第Ⅳ层进行温度传递分析。

温度传递方向：温度由高温向低温方向传递，在此过程中由能量守恒定律可知温度是保持恒定不变的，随着传递入织物材料层后逐渐降低。在整个传递过程中，内部除了人体这一热源外，并无其他热源。

图1 假人皮肤温度与时间关系图

在传递过程中，外部环境温度与人体温保持恒定不变，则它的边界温度恒定不变。

由此，根据傅里叶热传导定律得[3]：

式（1）中：为热导率；为导热面积。

根据热传导方程、Fourier定律以及热学第一定律[4]可得到其一维热传导模型为：

式（2）中：为材料层的密度；为材料层的比热容；为材料层的热传导率。

根据模型假设温度在材料层与材料层之间的传递温度是相同的，可知层与层的界面处传导率处于平衡且温度相等，即：

式（3）中：=1，2，3，4分别为第Ⅰ层，第Ⅱ层，第Ⅲ层，空气层为第Ⅳ层。

根据以上可以建立各层材料的一维热传导微分方程模型为：

式（4）中：为材料层到外界环境之间的距离；i为材料层的热传导率；i为各材料层的密度；i为材料层的比热容；i（=1，2，3，4）为各材料层的厚度。

所建模型的边界条件为：

式（5）中：0为外部环境温度；（）为原始所测假人皮肤外侧的测量温度拟合函数。

根据所建立模型，利用差分的方法求出其近似的数值解，将其求解数值解变成求解近似解，即将方程离散到各个节点上后进而对其进行数值近似解的计算[5-6]。

建立一维热传导的向前差分格式为：

建立一维热传导的中心差分格式为：

利用式（6）（7）对其热传导微分方程进行离散化，得到差分方程为：

对式（8）进行整理简化后，得：

2.2 模型求解

对于所建立的模型，对环境温度为75 ℃、第Ⅰ层厚度为0.6 mm、第II层厚度为6 mm、第Ⅲ层厚度为3.6 mm、第IV层厚度为5 mm、工作时间为90 min的情形开展实验，利用MATLAB软件得到其温度分布情况，如图2所示。

拟合结果分析：根据所建模型得到假人皮肤外侧的温度趋于稳定时，数值为48.11 ℃。将其与题给稳定时，数值为48.08 ℃进行结果对比，得到结果误差为0.03 ℃。

因此可知，模型数据拟合效果比较好，所建模型具有可行性。

图2 温度分布情况图

3 案例分析

根据题目所给信息[1]，即当外部环境温度为65 ℃，而且第IV层的厚度为5.5 mm时，需要确定第II层的最优厚度，从而使得工作60 min时，假人皮肤外侧温度超过44 ℃的时间不能超过5 min，并且保证皮肤外侧温度不超过47 ℃。由于所求解为其最优解，因此，建立二分法模型求解其优解[7]。

根据假人外侧皮肤的相关信息，得到热阻值，进而求解假人外侧皮肤的热导率5。

热阻公式为：

单层热阻与热传导率的关系为：

多层热阻与热传导率的关系为：

根据公式以及假设人体皮肤相关信息数据可以得到热阻与热传导率[8]分别为：=0.116，5=0.026。

为求解第Ⅱ层的最优厚度，以满足第Ⅱ层的条件的最小厚度作为其最优解，求解采用二分法进行数值求解。对于二分法，确定第Ⅱ层厚度的初始条件为：

针对于第Ⅱ层厚度的选取，根据二分法原则：

对式（10）依次进行迭代，将其代入所建立的问题一模型中求解出相应的（，）。

对其使用二分法满足条件：

根据条件分析可知，如所其解第Ⅱ层厚度满足式（10）（12）条件，则进行下一次的迭代；否则，退出算法，停止迭代。

经过有限次迭代，得到相应的结果，从而知道第Ⅱ层最优厚度。

利用MATLAB软件求解，取其每次中间值，迭11代有限次后，得到其第Ⅱ层最优解2=12.23 mm。

4 结束语

基于无热内源的热传导控制方程，建立一维热传导方程模型，将其数据离散化，利用有限差分求解近似解，得出材料层之间的温度分布情况图。

通过将所建立模型的求解结果稳定状态数据与原题给稳定状态数据进行拟合，验证模型的可行性。实例研究中采用二分法算法结合所建模型，求解材料层最优厚度，体现模型的实用性。

［1］全国大学生数学建模竞赛组委会.2018年全国大学生数学建模竞赛A题［EB/OL］.［2018-09-13］.html.http:// www.mcm.edu.cn/html_cn/node/7cec7725b9a0ea07b4dfd175e8042c33.html.

［2］蔡志杰.高温作业专用服装设计［J］.数学建模及其应用，2019，8（1）：44-52，83.

［3］潘斌.热防护服装热传递数学建模及参数决定反问题［D］.杭州：浙江理工大学，2017.

［4］蔡姝婷.偏微分方程解的数值验算［J］.赤峰学院学报（自然科学版），2015，31（18）：7-9.

［5］谢满林，丁宣浩.热传导方程求解中的快速小波-有限差分方法［J］.重庆工商大学学报（自然科学版），2008，25（6）：592-595.

［6］金蒙，高峰，李娇，等.二维稳态辐射传输方程的有限差分求解法［J］.光子学报，2010，39（9）：1594-1601.

［7］王海涛，朱洪.改进的二分法查找［J］.计算机工程，2006（10）：60-62，118.

［8］张泽群，李宏，刘毅，等.基于热传导学和有限差分法的高温专用服装设计［J］.新型工业化，2019，9（4）：123-128.

O241.1

A

10.15913/j.cnki.kjycx.2019.20.001

2095－6835（2019）20－0001－03

池睿洁（1999—），女，贵州铜仁人，贵州师范学院在读本科生。于国龙（1981—），男，辽宁东港人，硕士，副教授，主要研究方向为智能计算、大数据。

贵州省2019年大学生创新创业训练计划项目“多层高温服装温度分布的模型构建”（编号：20195200197）；贵州省级重点学科“计算机科学与技术”（编号：ZDXK〔2018〕007号）；2016年贵州省省级重点支持学科“计算机应用技术”（编号：黔学位合字ZDXK〔2016〕20号）；贵州师范学院大学生互联网+创新创业训练中心（编号：黔教高发〔2015〕337号、黔教高发〔2017〕158号）；贵州省教育厅创新群体重大研究项目（合同编号：黔教合KY字〔2016〕040）；贵州省普通高等学校工程研究中心（合同编号：黔教合KY字〔2016〕015）

〔编辑：严丽琴〕