由一根线段说开去

张映斌

【摘 要】本文由中山大学珠海校区教学楼的线性建筑得到启示，探讨一根定长的线段在数学上的有趣应用。本文主要探讨了用等周长正多边形的性质，包括中心到顶点，边，顶点连线，以及这些情况在极限条件下的有趣性质。这些性质也跟实际生活中的现象和应用关联起来。数学分析上，这篇文章涉及平面几何，初等函数的性质，三角函数的性质，简单求导方法，以及极限的基本性质方面兴趣。本文也简单介绍了Excel这个办公软件在数学绘图上的应用。这篇综合性的文章对启发中学生的数学兴趣是非常有用的。

【关键词】线段;性质;启示

【中图分类号】G633.6       【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2019）22-0267-02

前段时间，笔者途经亚洲最长的中山大学珠海校区教学楼。当时，笔者有个疑问，如果有些学生所选课程的教室不幸在教学楼两头，那这些学生为了上课需要走的路可不少啊。而如果能够把这两头连起来，使这教学楼在二维平面上形成一个密闭的形状，那么这样的学生却是是最幸运。现在，让我们把实际的建筑要求和物理原理的限制抛开，而仅考虑数学上的抽象，然后可以提出以下的问题：

问题1：一线段的长度为a，把它在二维平面上围成一密闭的n边形（n≥3）。这个多边形上任意不同两点的距离最长为en。那么，如何设计这个边长一定的n边形，使得en最小。

这个问题在高等解析几何里面不难解。事实上，多边形的“极限”形状无非两种：（1）宽度趋近于零的矩形和（2）完美的圆形。这两种情况的en很容易求得：

（1）矩形：e4→a2

（2）圆形：周长为a的圆的直径。所以e∞=aπ

事实上，圆形作为多边形的一种特殊形式为我们所要的形状。

让我们把这个问题简化，使得这个问题可以用于启发中学生在平面几何，初等函数的性质，简单求导方法，以及极限的基本性质方面的兴趣。

（3）对于我们构造的这些等周长的正多边形（包括圆），顶点连线最长为en。如果n为偶数，en为正多边形对角线，长度为2bn。如果n为奇数，以五边形为例子如图7所示，en将比2bn小，或者说en不再是其外接圆的直径，而是弦AC。这个问题事实上是回归本文最开始的问题1，只是我们现在在正多边形的简化的情况下进行讨论。在bn的基础上，当n为奇数时，en的通式也不难求得。以图为背景，

en=2×bn×sin∠AOF

=2×bn×sin（π2-π2n）

=2×a2n×1sinπn×cosπ2n

=an×12sinπ2ncosπ2n×cosπ2n

=π2n×1sinπ2n

类似的，这个函数为单调递减函数，求解过程不再累述。

所以，如果从最短的最大节点间距的设计上说，圆也是为我们所求。事实上，不管围出什么形状，圆的en就是本文开头问题1的答案。这个在高等数学上不难验证。

用一根定长的线围出来的正多边形中，圆的面积最大。事实上，不仅仅是正多边形，所有等周长多边形中，圆的面积是最大的。这在现实生活中有其指导意义，比如，如何用一定的长的围栏围出最大（圆）或者最小（三角形）的面积。在物理上也有很多应用，比如水滴在亲水平面上的舒展是呈圆形的，这是通过使得接触面最大而让总能量最低使得系统最稳定等等。

很明顯，以上的多次讨论都以圆为结尾。事实上，不仅仅二维的圆有着这么多有趣的性质，三维的球体也有着很多值得探讨和启迪学生的性质。最简单的，对于等体积的立体结构，球的表面积最小。这在建筑上可以节省表面装饰材料，也是物理上散热的问题（冷的时候，人喜欢蜷成一团）。

本文主要讨论的是很见到的多边形的问题。这些在现实生活中也经常接触到。正八角形的建筑是很多道学家喜欢的。再说，南京大学以前浦口校区的八角楼恐怕是很多南大学子难忘的。至于圆的建筑，那就更举不胜数了，比如著名的土家圆楼或者享誉全世界的美国加州理工学院的Beckman大会堂的白色建筑。

在这个基础上，最后笔者提出几个问题留给读者去思考。如果引入解析几何，尤其是极坐标，很多螺旋形的设计也有很多数学方面的有趣性质。最简单的，如何用一根定长的线段设计最复杂的迷宫？另外，如果我们在三维的角度上看问题，引入立体几何，把本文的讨论的一切拓展到三维空间，这将颇有电影《盗梦空间》里面那些复杂而有趣的拓扑建筑的味道而给我们带来无限的遐想。

结论

本文从最简单的几何元素—线段开始，探讨了很多二维平面上的有趣的几何问题。对这些问题的探讨让读者尤其是中学生对现实生活中数学的应用有了更深层次的理解。本文的数学分析部分涉及中学数学的方方面面。这篇综合性的文章对现在的数学教学在联系现实应用方面有着一定的指导作用，是一份拓展中学生的视野启迪他们的数学兴趣的很好的读物。