思路指引 解法生成

2019-11-12 12:11韩敬
理科考试研究·初中 2019年10期

摘 要:本文以一道联考压轴题为例,从不同角度引导学生思考与探索,生成了不同的解法,拓展了学生的解题思路,提升了学生的解题技能.

关键词:联考压轴题;思路引导;解法探究

作者简介:韩敬(1977-),男,安徽定远人,本科,中学高级教师,研究方向:课堂优化教学研究.

笔者所在学校的联考试卷的压轴题以正方形为背景,考查正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、角平分线等知识.批阅试卷后,统计发现第(2)、(3)问得分率极低.为此,笔者安排了一节课, 引导学生从不同的角度去思考,生成了不同的解法,达到了较好的教学效果.现整理成文,供参考.

1 题目呈现

题目 如图1,点M是正方形ABCD边BC上一點(点M不与点C,B重合),点E在线段AM上,且DA=DE,∠CDE的平分线交AM延长线于点F,交BC于点N.

(1)求证:∠AFD=45°;

(2)写出线段BF,DF和AF之间的数量关系,并证明;

(3)若正方形ABCD的边长为3,点E恰为AM的中点,则BN=.

2 解法指引

2.1 第(1)问的解法思路

师:从结论入手,要证∠AFD=45°,结合正方形的性质,45°角与什么特殊角有关联?由45°角,你能想到什么图形?

生1: 45°是90°的一半(生1给出了解法1).

生2:等腰直角三角形的两个锐角都是45°.

师(追问生2): “∠AFD=45°”所在的三角形是等腰直角三角形吗?

生2:不是.

师:我们怎么办?

生2:构造一个等腰直角三角形(生2给出了解法2).

解法1 由正方形ABCD,得∠ADC=90°.

因为DA=DE,

所以∠AED=∠EAD=180°-∠ADE2.

因为DF平分∠CDE,

所以∠FDE =12∠CDE=90°-∠ADE2.

所以∠AFD=∠AED-∠FDE=180°-∠ADE2-90°-∠ADE2=45°.

解法2 如图2,过点D作DG⊥AF于点G,由正方形ABCD,得∠ADC=90°.

因为DA=AE,所以∠EDG=12∠ADE.

因为DF平分∠CDE,所以∠FDE =12∠CDE.

所以∠FDG=∠EDG+∠FDE =12(∠ADE+∠CDE)=12∠ADC=45°.

因为DG⊥AF,所以∠AFD=90°-∠FDG =45°.

2.2 第(2)问的解法思路

师:解决“零散” 的三条线段之间的关系,我们有哪些经验与方法?

生3:把三条线段转化到一个三角形中,可以利用平移、旋转、轴对称来转化.

师:对,我们常用图形三大变换来转化.本题用哪一种变换呢?

生3:用旋转,也就是把△ABF绕点A逆时针旋转90°得△ADH,但是不能证明H,D,F三点在同一条直线上.

生4:构造全等三角形可以证明(生4给出了解法1).

师:如果我们学过圆的知识,利用旋转可以证明(师顺势给出了解法2).

解法1 如图3,过点A作AH⊥AF,交FD延长线于点H,由(1)知∠AFD=45°,易知∠AFH=∠H=45°.

所以AF=AH.

由正方形ABCD,得AB=AD,∠BAD=90°.

即∠FAD+∠BAF=90°.

因为AH⊥AF,所以∠FAD+∠DAH=90°.

可得∠BAF=∠DAH.

所以△ABF≌△ADH.

所以BF=DH.

在Rt△AFH中, AF2+AH2=FH2.

可得2AF2=FH2,即2AF2=(BF+DF)2.

所以BF+DF=2AF.

解法2 如图4,连接BD,由正方形ABCD,得AB=AD,∠ABD=∠ADB =45°.

由(1)知∠AFD=45°,所以∠ABD=∠AFD.

所以A,B,F,D四点共圆.

所以∠ABF+∠ADF=180°.

把△ABF绕点A逆时针旋转90°得△ADH,可知∠FAH =90°,AF=AH,∠ADH =∠ABF .

从而∠ADH +∠ADF=180°,即H,D,F三点共线.

在Rt△AHF中,AF2+AH2=FH2.

即2AF2=(HD+DF)2=(BF+DF)2.

所以BF+DF=2AF.

2.3 第(3)问的解法思路

师:条件中有 “点E为AM的中点”,由中点你想到哪些相关的方法与结论呢?

生4: 联想到“倍长”中线法、三角形中位线定理,如果是直角三角形斜边的中点,想到直角三角形斜边中线的性质.

解法1 如图5,延长DE交CB的延长线于点I,易知△ADE≌△MIE,可得DE=IE,∠ADE=∠I.

连接NE,由正方形ABCD,得∠C=90°.

因为DF平分∠CDE,所以∠CDN=∠EDN.

因为DN是公共边,所以△DCN≌△DEN.

所以∠DEN=∠C=90°,即NE⊥DI.

又DE=IE,所以DN=IN.

所以∠NDE=∠I,可得∠ADE=∠NDE.

又因为∠CDN=∠NDE,

所以∠CDN=∠NDE =∠ADE=30°.