谈谈高三复习中不可忽视的三视图还原直观图教学策略

吴依妹

【摘 要】空间几何体高三复习中很重要的内容是三视图还原直观图，教师要有一定的教学策略，才能达到教学效果。本文着重介绍自己开完此课题的省级公开课后的一些教学感悟。

【关键词】猜测;转化;调整;验证;策略

高三复习教学中要求学生学会空间几何体的不同表示形式，其中很重要的两种表示是直观图与三视图，从直观图画出平面图形三视图较为容易，而从三视图还原直观图是教学难点，是考试的重点，需要老师高度重视并有一定教学复习策略。三视图还原直观图的图形分为两类，一类是空间简单几何体（柱，锥，台球），另一类是空间组合体，组合体中往往是空间几何体的切割体，或者是简单几何体的叠拼。在实际教学过程中，本人归纳以下几种方法：

一、精析常见空间几何体的三视图与直观图特征（简称“图形特征法”）

二、把握整体特征，寻找点线面关系（简称“整体点面法”）

要让学生明白，三视图会随着空间几何体的形状特征（点、线、面之间的位置关系），以及摆放位置不同而不同。这个过程只是猜测并还原，接下来要做的是调整与验证。调整空间几何体的点、线、面之间的位置关系，或者它的摆放位置并做出直观图与三视图之间的验证，实现空间图形与平面图形转化。

例1：（2014课标全国Ⅰ，文8）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（  ）。

A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱

解析：把握三视图平面图形特征推测立体图形为三棱柱，由俯视图知三棱柱的摆放位置及两底面为直角三角形的直棱柱。

  例2：如图（2）中的三视图还原出直观图。

解析：由三视图猜测立体图形为四棱锥，由俯视图知底面为正方形，为何产生两条俯视图的实线是关键，右侧面与底面垂直，顶点投影在底边中点上。

归纳：先由俯视图确定底面，根据三视图确定顶点，完善轮廓。

三、利用长方体模型，寻找三线交汇点（简称“嵌入式几何体法”）

学生已掌握一些常见的几何体的三视图，如长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等等。

例3：2014年高考全国I卷理科第12题：如图，网格纸上小正方形的边长为4，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（）

  正确答案是B.

解：观察上述三视图，可得出该立体图形的长宽高都为4，因此我们可以考虑将其放入一个正方体中进行图形的还原。于是，我们画出正方体，如图（1）：

第一步：从正视图特征入手，该正视图有4个端点，在正方体中找到该正视图四个端点的所在线段，图（2）中红色线段即为正视图端点所在位置。

第二步：从侧视图特征入手，该侧视图共有3个端点，将这三个端点所在线段表示在正方体之中，图（3）中蓝色线段即为侧面图端点所在位置。

第三步：从俯视图特征入手，该俯视图共有3个端点，将这三个端点所在线段表示在正方体之中，图（4）中绿色线段即为俯视图端点所在位置。

第四步：将正视图、侧视图以及俯视图所呈现的三色线段进行观察，将三条线段的公共端点找出，其公共端点相连所组成的立体图形，即为原立体图形，如图（5）。这时，再根据图（5）中呈现的立体图形去寻找最长的棱，并对其求解，将更为直观。

这种方法的核心其实就是七个字：“三线交汇得顶点”，此方法也适用于解决三棱锥的问题。

例4：三视图如图所示，请原还其直观图。

分析：俯视图中出现虚线，此处的虚线会在正方体的下底面，同理，正视图中有虚线，还原后必在正方体的后面，左视图中有虚线，原原生必在正方全的右表面。

首先在正方体模型中，根据三视图描制出将轮廓的边界点并平行延长，如图，这样就可以找到三个方向的交叉点，由这些交叉点，不难得到直观图。

四、切割类组合体问题，寻找割补部分（简称“割补法”）

割补类的组合体三视图的还原，可先猜测一个常见空间几何体三视图，通过还原其直观图，在此基础上再根据三视图特征，进行调整割补得到。例如下图的三视图的还原：

归纳：先确定由哪几种简单几何体构成，画出切割前图形的直观图和三视图，通过原三视图与现三视图的比较，对原直观图进行修正，最后验证。

五、复杂问题的三维坐标法.

复杂的三视图还原，需要借助三维坐标，此种情况通常分为以下三个步骤：

第一步：把俯视图用斜二侧画法画出来，并画出z轴;

第二步：让主视图与yoz面平行，下底边与俯视图对应边重合，沿x轴滑动，放在合适的位置上。

第三步：让左视图与xoz面平行，下底边与俯视图对应边重合，沿y轴滑动放在合适的位置上。

【參考文献】

[1]阳友雄.立体几何中三视图的五大策略[J].老阳讲数学，第60期