培养工科院校学生数学建模能力的大学数学教学的探索
——以《运筹学》教学为例

张 杰

（东北电力大学理学院，吉林吉林 132012）

数学是几乎所有自然科学和工程技术研究的基础，随着科学技术的发展和计算机的普及，数学的应用领域越来越广泛，以空前的广度和深度向经济、管理、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，数学理论与计算技术的不断进步使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分。大学数学教育在培养学生的创新意识和创新能力方面具有独特的地位和难以替代的重要作用。人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，数学理论与方法的不断扩充。

在创新人才的培养过程中，需要改变数学教学的观念，不仅需要学生掌握数学基础知识，而且要有科技人才应具备的数学素质，即科学思维方法、逻辑推理能力、应用数学能力和计算机应用能力。通过这种教学使学生了解如何利用数学知识和方法去分析问题和解决问题，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学和利用计算机软件去解决问题。在保持传统数学教学优点的同时，融入讨论式、问题式、案例式教学。使学生能在教师的指导下，选择从自己周围遇到的和社会生活中出现的有兴趣的问题，用类似科学研究的方式去解决。这样做法既有利于教师组织教学，也适合于教师引导学生对一些问题进行“研究”和“探索”训练。这种探索有利于训练学生发现问题的能力，锻炼学生应用数学知识和方法及数学软件解决问题的能力，有利于培养和发掘优秀人才。

1 算例分析

某染料厂用甲、乙、丙三种原料混合配制出A、B、C三种不同的产品。原料甲、乙、丙每天的最大供应量分别为100、100、60千克，每千克单价分别为65、25、35元。

由于A、B、C三种产品的质量限制，要求产品A中含原料甲不少于50%，含原料乙不超过25%；产品B中含原料甲不少于25%，含原料乙不超过50%；产品C的原料配比无限制，产品A、B含原料丙比例无限制。产品A、B、C每千克的售价分别为50、35、25元。

问应如何安排生产，才能使所获利润达到最大？

首先，将信息提炼并制表，可得问题的全部信息见表1。

表1 产品信息表

（1）确定决策变量

设xij表示第i种产品中含第j种原料的数量（单位：千克），见表2

产品 原料乙甲丙A B C x11x12x13x21x22x 23 x31x32x33

（2）确定约束条件

原料配比约束：

日供应量约束：

（3）确定目标函数

此问题的目标为获利最大，因此目标函数为：

问题的数学模型为：

利用LINGO软件求解，结果见下表

产品 原料甲乙丙A B C 100 50 50 0 0 0 0日供应量上限100 100 0 0 6 0

日获利最大值为500元。

2 问题的进一步讨论分析

2.1 产品最低售价的确定

进一步分析可知，原料过剩。在原有决策变量的基础上，添加三个价格变量，设

产品A的售价为x1，产品B的售价为x2，产品C售价为x3，单位不变。

原料产品甲乙售价A B C x x 11 x13 x1 12 22 x 21 x x 23 x丙2 x31 x32 x33 x3

定价原则为：

（1）满足产品配比限制；

（2）三种资源消耗完毕；

（3）每种产品的售价不低于其成本价。

即除原料配比约束外，增加两个约束条件：

（1）三种资源消耗完毕：

（2）售价不低于成本：

由于要确定三种产品的最低定价，因此目标函数为求利润的最小值：

问题的数学模型为：

利用LINGO软件求解，得

在满足定价原则的前提下，最低定价为：产品A—48元，产品B—40元，产品C—39元，此时为零利润。

2.2 最低定价下，原料消耗完毕的最大利润

下面计算在最低定价下，原料消耗完毕时的最大利润

利用LINGO软件求解，得

日获利最大值：840元

日获利最大值：840元。

2.3 产品售价增加对配比方案的影响

进一步分析产品售价增加对配比方案的影响，设

则问题的数学模型为：

利用LINGO软件对目标函数中变量u、v、w的系数进行灵敏度分析，结果如下：

分析结果如下：

（1）产品A的售价增加对配比方案没有影响；

（2）产品B的售价增加幅度不超过3.5元时，方案不变；

（3）产品C的售价增加幅度不超过9元时，方案不变。

对该案例的研究过程做如下总结：

（1）本案例在原有的条件下建模求解，其结果存在原料过剩以及利润偏低的问题，原因是产品定价不合理造成的；

（2）在合理的定价原则下，建立产品定价模型并求解，得到了三种产品的最低定价；

（3）在最低定价下，重新求最大利润，并且对产品售价的变化做灵敏度分析。

3 结论

解决实际问题过程中需要注意以下四点：

（1）在建立数学模型的时候尽量避免使用等式约束；

（2）对求解结果要给予解释及合理性分析，逐步改进模型；

（3）对实际案例中繁杂的信息要善于提炼、列表；

（4）对于具有两个脚标的决策变量，最好用表格的形式表示。