造成数学学习中“懂而不会”现象的五大原因

宁永楠 武瑞雪

【摘 要】 数学学习中“懂而不会”现象严重困扰着教师和学生.产生这种现象的五大原因：学生不擅于纠错反思，没有养成归纳记录易错题、典型题的好习惯;学生没有形成系统的知识结构; 学生缺乏必要的巩固训练;教师知识结构不完整、不系统，掌握的解题方法不全面; 教师课堂上就题讲题，缺乏相应的变式训练.

【关键词】 数学学习;懂而不会;原因

很多学生反馈“上课时能听懂老师讲的，可自己一做就不会;能看懂课本内容，可解题时就没有思路或者有思路也做不对”.也有好多教师抱怨“此类型题讲过、练过，可错误率还很高”.

这种“懂而不会”现象在数学学习中频频发生，它严重困扰着教师和学生.那么，造成这种现象的原因是什么？为什么学生能看懂、听懂，可一做就不会了呢？笔者认为主要原因有如下几点.

1 学生不擅于纠错反思，没有养成归纳记录易错题、典型题的好习惯

罗增儒教授曾经说过：“检验解题过程也是提升解题能力、积累解题经验、锻炼数学思维的一个重要途径”.但是，许多学生没有解后检验的习惯，没有尝试一题是否有多个解法，一题是否可多变. 特别地，对于错题，有些学生总是不能及时查找错因，导致再遇到同类型题时还犯同样的错误. 可以说，养成“错题必纠正必整理”的习惯是消减“懂而不会”现象最为有效的策略之一.

错因可能是计算马虎、审题不细、分类不全、概念不清、性质模糊、转化不等价、书写不规范、忽视隐含条件、忽视公式适用条件等等，诸如此类，对于这些原因，学生若能分类整理，建立错题集，时常翻阅，就能有效规避“懂而不会”现象的发生.

还有很多学生不及时归纳整理典型题，没有形成文字记录，当时感觉是掌握了，时间稍久就忘得一干二净，再遇到这种“眼熟”的题型，就不能顺利解答，造成“懂而不会”现象的发生.

2 学生没有形成系统的知识结构

众所周知，综合性再强、难度再大的题目也是由简单的知识点组合而成的，若学“东”忘“西”，知识结构不完整、不系统，则解题时定会思维受阻，不能彻底解答.所以，不但要认真体会、感悟、理解、掌握每个孤立的知识点，还要将前后知识点连贯起来，形成系统的知识结构，养成学完一节、一章、一本书的内容，都能及时复习、整理，形成知识串，做到“既能见树木，又能见森林”，确保需要时能“信手拈来”，不能因某个知识点的“模糊不清”而“不会“做题.

案例1 对于两个定义域相同的函数f（x）和g（x），若存在实数m，n，使h（x）=mf（x）+ng（x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的.试利用“基函数f（x）=log2（4x+1），g（x）=x”生成一个函数h（x），且同时满足以下条件：①h（x）是偶函数;②h（x）的最小值为1.求h（x）的解析式.

分析 此题属于“新定义”型题目，考查一次函数、对数型函数、偶函数、基本不等式、对数的运算性质、函数的最值求法以及函数解析式的求法等，综合性较强，难度中等. 测试后发现部分考生不会，后经了解得知，主要是这些学生的知识结构不完整、不系统，各知识点处于零散状态，导致不理解新定义“基函数”的含义，不能充分利用“偶函数”、“最小值”等条件对题目进行等价转化、建立等量关系，从而导致做不出来.

解 设h（x）=mlog2（4x+1）+nx，则h（-x）=mlog2（4-x+1）-nx.

由h（-x）=h（x），得mlog2（4-x+1）-nx=mlog2（4x+1）+nx，整理得mlog2（4-x+14x+1）=2nx，即mlog24-x=2nx，即-2mx=2nx对任意x恒成立，所以m=-n.

所以h（x）=-nlog2（4x+1）+nx

=-n[log2（4x+1）-x]

=-n[log2（4x+1）-log22x]

=-n（log24x+12x）.

设y=4x+12x，令2x=t（t>0），则y=t2+1t=t+1t≥2.

当且仅当t=1时取到“=”.

所以log2（4x+12x）≥1，又h（x）最小值为1，所以n<0，且n=-1，此时m=1，所以h（x）=log2（4x+1）-x.

3 学生缺乏必要的巩固训练

有句话说得好“我听过了，我就忘了;我看见了，我就记得了;我做过了，我就理解了.”在数学学习中，有的学生错误地认为听懂了、看懂了就一定能做出来，学习时只是听、看或只进行简单模仿，而懒于动笔做巩固训练，更懒于做限时巩固训练.有的学生盲目地自信，做题时“偷工减料”，常常只写思路或列出主要式子，将计算过程省掉，还误认为这样可以节省时间，提高效率.久之，运算能力、基本技能下降，导致独立做题时，半途而废、漏洞百出，从而出现“懂而不会”现象.

案例2 已知直线l：y=kx+m与椭圆C：x24+y23=1相交于A，B两点，且kOA·kOB=-34，求证：△AOB的面积是定值.

分析 本题的解题思路非常清晰，其过程如下：

第一步，将直线方程与椭圆方程联立y=kx+m，

x24+y23=1，消去y化簡得，

（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-8km3+4k2，x1x2=4m2-123+4k2，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=3m2-12k23+4k2.

因为kOA·kOB=y1y2x1x2=-34，所以2m2=3+4k2

①

所以弦长AB=（x1-x2）2+（y1-y2）2

=（x1-x2）2+（kx1+m-kx2-m）2

=1+k2x1-x2

=1+k2（x1+x2）2-4x1x2

=24（1+k2）3+4k2.

第二步，求出点O到直线l的距离为d=|m|1+k2.

第三步，利用弦AB的长及点到直线距离d，表示出△AOB的面积：S=12AB·d=12×24（1+k2）3+4k2·m1+k2=12×24m23+4k2.

②

第四步，将①代入②，化简得到面积定值为3.

点评 一般来说，直线与圆锥曲线的综合问题，解题思路都很清晰，在教师悉心引导、分析下，学生能听懂或看懂，甚至有的学生还能熟练说出每一个步骤.但是，圆锥曲线类题目往往运算量很大，若平时不动手去演算，考试时是很难有耐心算出最后结果的.在独立做题时会“断片”、“卡顿”，最后只能草率了事，造成“懂而不会”现象的发生.

4 教师知识结构不完整、不系统，掌握的解题方法不全面

俗话说得好“打铁还需自身硬”.若教师不善于钻研，知识结构不完整，对常见的或好的解题方法不积累、不归纳，则易导致解题教学时，方法选取不当，不能很好地引导、点拨学生，对综合性稍强的题目就无从下手，或下手方向不对，甚至出现“挂课”的尴尬现象.

做为教师，应积极钻研，不断学习、积累、充电，备课要充分，要擅于进行一题多法、一题多变的教学，只有自己昭昭，才能让学生昭昭.

案例3 （2008年江苏高考第14题）在△ABC中，AB=2，AC=2BC，则△ABC面积的最大值是

.

解法1 设BC=x，则AC=2x.

根据面积公式得，S△ABC=12AB·BCsinB=12×2x1-cos2B.

①

再根据余弦定理得，cosB=AB2+BC2-AC22AB·BC=4+x2-（2x）24x=4-x24x.

②

将②代入①式得，S△ABC=x1-（4-x24x）2=128-（x2-12）216.

由三角形三边关系得2x+x>2，

x+2>2x，解得22-2     故当x=23时，S△ABC取得最大值22.

解法2 以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0），设C点坐标为（x，y），由AC=2BC，得（x+1）2+y2=2（x-1）2+y2，化简得到C点轨迹方程为（x-3）2+y2=8（y≠0），设点C到直线AB的距离为d，则S△ABC=12AB·d=d.

所以，要求△ABC面积的最大值，只要求圆（x-3）2+y2=8上的点到直线AB的距离的最大值即可.易知d的最大值就是圆（x-3）2+y2=8的半径22，所以三角形面积的最大值为22.

点评 此题的题面是三角形问题，根据上面的解题过程，我们不难发现，若按解法一，先得S△ABC=12×2x1-cos2B，再将cosB=4-x24x代入，得S△ABC关于x的函数，再根据三角形任意两边之和大于第三边，得到x的取值范围，进而得到面积最大值，但这样做计算量太大，过程太繁琐，很容易因计算错误而前功尽弃，或因心理惧怕、不耐烦而放弃，但若能根据条件AB=2，AC=2BC联想到阿波罗尼斯圆，则容易探究出解法二，快速地求出结果.

可见，教师知识结构完整、系统，掌握的解题方法全面，在进行解题教学时，就能高屋建瓴，一题多法，且能指导学生进行优法采撷，这对提高学生的解题能力，消减学生在学习中的“懂而不会”现象将是非常有益的.

5 教师课堂上就题讲题，缺乏相应的变式训练

很多教师在进行解题教学时，往往缺少相应的变式训练，没有变换原来题目的条件或结论，编制新的题目，没有让学生从“变”中发现“不变”的要素和本质，重在“就题论题”而不是“就题论法”＼[1＼].这是造成“懂而不会”现象的另一个重要原因.

案例4 （2016年徐州一检第13题）已知A（0，1），B（1，0），C（t，0），点D是直线AC上的动点，若AD≤2BD恒成立，则t的取值范围为

.

解 设D（x，y），则AD=x2+（y-1）2，BD=（x-1）2+y2.

若AD≤2BD，则x2+（y-1）2≤2（x-1）2+y2.

化简得（x-43）2+（y+13）2≥89.

由A（0，1），C（t，0）两点得直线AC：x+ty-t=0.

由题知，直线AC与圆（x-43）2+（y+13）2=89没有公共点或有且只有一个公共点，所以（43，-13）到直线AC的距离d=43-13t-tt2+1≥223=r，化简得t2-4t+1≥0，所以t≥2+3或t≤2-3.

点评 本题综合性较强，它是在阿波罗尼斯圆的背景下，考查恒成立问题，如果讲解时只是就题论题，学生或许能听懂，但将条件稍做改变，学生可能就不懂、不会或做不对.

在教学时，可引导学生编制如下变式题：

变式 已知A（0，1），B（1，0），C（t，0），若在直线AC上存在点D，使AD≥2BD成立，则t的取值范围为

.

解 由上题得（x-43）2+（y+13）2≤89，

由题知直线AC与圆（x-43）2+（y+13）2=89有公共点，所以（43，-13）到直线AC的距离d=43-13t-tt2+1≤223=r.

化简得t2-4t+1≤0，所以2-3≤t≤2+3.

将原题与变式题放在一起对比讲解，则利于学生理解“恒成立”与“能成立”两类问题的共性和不同，利于消减“懂而不会”现象.

6 结束语

造成数学学习中“懂而不会”现象的原因，绝不止上面所提及的，还有很多，比如从教师角度出发，教师提问后留给学生思考的时间不足;不擅于稚化自己的思维;教学时不擅于暴露师生探究解法的思维过程，特别是学生易错的思维过程，而总是由教师“直接告知”;让学生自学、阅读时，没有具体的任务要求＼[2＼];板书设计不合理，缺乏条理性、规范性、完整性、示范性，导致学生错误“模仿”等.从学生角度出发，学生缺乏主动思考、探究的习惯;心理素质差，因紧张看错题目或者誊写错误，甚至因紧张、焦虑出现“记忆短路”;做题时心浮气躁，不能沉着冷静地分析题目的条件及所求;不擅于利用图形辅助分析和解题;思维不严谨，逻辑性差;没有认真对待解题的各个环节（理解题目、拟定方案、執行方案、回顾）：审题过快（题意不清，就提笔作答），方案拟定不佳（没有从不同角度思考，导致所选解法过于繁琐），不擅于回头验证（导致运算频频出错）等等.

学情、教情不同，原因各异，为了更有效地规避“懂而不会”现象的发生，做为数学教师，应予以重视，把数学学习中“懂而不会”现象当作一个课题进行研究.

参考文献

[1] 徐存新，武瑞雪.浅谈高中数学教学中的变式题教学——以消除懂而不会现象为例＼[J＼].中国数学教育，2016（12）.

[2] 武瑞雪，陈莹，徐存新，管勇.因“教师不会教”致教学低效之现象剖析＼[J＼].中国数学教育，2016（6）.

作者简介 宁永楠（1984—），女，大学本科，中小学一级教师.