释概念晰内涵渗方法

【摘要】本文以数轴的教学为例论述概念教学的策略，认为在概念教学中，教师要激活学生已有经验，让学生在结构重组中深入理解概念;深入探究习得概念内涵，在构建体系中深化感知;紧扣教学版块，巧妙渗透数学思想。

【关键词】初中数学 概念教学 激活已有经验 深入探究 渗透思想

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2019）10A-0134-02

数形结合是数学的重要思想，数轴作为数字与图像结合的典型代表，在数学研究领域中具有重要的价值。数形结合思想在初中数学教学中的应用非常广泛，新课标对数轴教学提出了“还原数轴”“理解数轴”“渗透思想”的要求。如何达成这一版块的教学要求呢？笔者结合自身的教学，分享自己的实践与思考。

一、激活已有经验，唤醒思维意识

数轴是重要的研究性工具。学生在小学阶段已经对数轴有了初步的感性接触，积累了一定的经验。对学生而言，初中阶段数轴的学习不是从零开始，教学应该建立在学生已有认知经验上。此外，数轴的概念相对抽象，但生活中有着可视化的模型，教师可以借助学生对常见实物形成的经验，帮助学生理解数轴的本质。

小学阶段的学生能够在直线上的点上写出具体的数字，教师紧扣这一知识点对学生原始经验进行拓展，深化学生对数轴的认知。首先，教师出示一个数轴，不同的点对应着不同数量的、具体的事物，要求学生在括号处填写对应的数值。数轴上的点依序排列，可以有效地让学生认识到数轴上数值的大小关系。数字与点位之间的对应联系以及直线的延伸方向，对初中生理解“直线”“点”“数”等概念有重要意义。其次，教师利用生活中常见的温度计和直尺让学生理解刻度排列的价值，如思考刻度“0”的内涵以及如何利用温度计表示“零上3℃”和“零下3℃”。据此，教师相机引导学生绘制一条能够用点分别表示正负数和0的直线，从而顺势引出后续的活动。实践操作的方式激发学生的探究兴趣，并强化学生对数轴概念的认知。具体活动的过程如下：绘制一条水平直线，取其中一点设置数值为0，定为原点;确定直线向右为正方向，向左为负方向，并用箭头加以表示;在直线上以合理的长度为单位“1”的标准值，分别向左和向右间隔一个单位取点设值，标注出“1”“2”“3”“4”和“-1”“-2”“-3”“-4”……这样的绘制活动，依托于直尺和温度计，让学生在绘制过程中明晰原点、方向和单位长度的相关概念，教师完成了对数轴概念的教学。

纵观整个教学流程，教师在教学数轴概念时，从激活学生原始经验入手，唤醒了学生对数轴中“数与点”的认知，紧扣生活，利用实实在在的事物，组织学生在实践操作中理解数轴的三个核心概念。如此教学，契合了学生的认知规律，不仅实现了知识之间的巧妙过渡，更在实践操作过程中提升了学生的思维意识和绘图操作能力，可谓一举两得。

二、深入探究，深化感知

数轴“表示”作用主要体现在：数轴上的点与数之间存在着一一对应的关系，可以运用点的方式来体现数值。对数轴进一步地学习需要借助数轴直观的“表示”作用，达成数系在数轴上的完整构建，尤其是要借助适切的策略转入到无理数的学习，引领学生感受数轴“表示”作用的深刻内涵。

在学生初步掌握数轴的核心概念之后，教师可以相机设置练习，让学生通过在数轴上标注具体的数值来感受数轴的“表示”作用。比如在数轴上表示“-2”“-[13]”“0.3”“2.4”，同时提出要求：将点标注在横线上，数值标注在点的下面，在观察数轴之后思考：①借助数轴，提炼出数值与点之间的关系;②上面的数值是否都可以在数轴上标注出来？教师根据练习中分数、小数、正数、负数的不同类型，提炼出数值在数轴上“表示”的内在规律：数轴上的点可以表示所有的有理数。而对于无理数的点，可以采用简单绘图的方式进行思考和及时性总结，让学生的思维经历从形象性到抽象性的过渡，实现数值与点之间的对应感知。

事实上，数轴上的点不仅可以表示有理数，还可以表示无理数，这也正是数轴表示内涵的完整展现，教师应该本着构架完整数系的原则，引导学生理解数轴上表示无理数的意义并思考：数轴上可以表示出来的点有多少？事实上，这些点无论多少，都无法将一条数轴全部布满，这就意味着数轴还可以表示哪些数呢？至此，教师可以设置两个教学活动：第一，有一个正方形面积为2，边长x是一个无理数，如何在数轴上将它表示出来呢？第二，圆周率π是一个典型的无限不循环小数，是否也可以在数轴上将其表示出来？这两个活动旨在通过思考无理数的表示方法，让学生借助无理数与线段对应点之间的关系，确定无理数在数轴上的具体点位。

对学生来说，用数轴表示无理数是一个相对复杂的过程，但却是学习数轴“表示”内涵的重要组成部分，也是构建完整数系的重要一环。教师可以借助鲜活的图形作为学生理解的支撑，让学生真正洞察数轴“表示”的丰富内涵。

三、紧扣教学版块，渗透数学思想

对初中数轴内容的教学，不能局限在固有的知识内容中，需要在学生吸收内容、理解消化的基础上，渗透相关的数学思想。对数轴概念概括、提炼的过程，需要利用生活中温度计的0刻度、单位长度和方向等，以保障提炼过程中的合理性、完整性、准确性。在最后的教学版块可以让学生尝试利用数学语言对数轴进行描述，即借助数轴三个核心要素以系统化、精准化的语言对其进行建模性描述，引导学生在深入实践的过程中积累抽象、概括的方法，也可以依托辨析性的数轴问题，检测学生对抽象性概括过程的理解程度。

在借助温度计建立数轴的过程中，我们不能将学生的思维局限在教学的知识点上，而需要以渗透建模思想为归宿，以生活中常见的实物为原型，提炼出探究性问题的数学模型，然后聚焦数轴这一研究对象，实现建模思想的双向传递。而比较数轴上数值大小的关系的过程，可以相机渗透类比的思想。比如，借助温度计与数轴的对应图，先组织学生厘清温度计数值之间的内在关系，并与数轴左右之间的数值关系进行类比，借助数值大小变化与温度计数值之间的联系，让学生轻松地认识到数轴上数值从左到右依次增大。整个过程中，类比思想的渗透更有利于学生进行规律的提炼与总结。

数轴上数值与点位的对应，是数形结合思想的具体体现，但是具有一定的隐蔽性和复杂性，需要教师在教学的过程中加以渗透。如图所示，在数轴上标有P点，与坐标a对应，Q点的坐标与数轴上的b对应，由此两点所形成的线段应该如何表示？这一问题看似只是借助数轴表示两点之间的距离，但实际上是一种代数的运算，需要用到数形结合思想。结合数轴正方向唯一性的特点，能夠得出b>a，因此PQ=b-a。纯粹地借助代数分析，并不能很好地确定b和a之间的大小关系，而巧妙地利用数轴，通过数形结合的思想就能够运用数学符号表述几何图形，实现两点距离之间的精准求解。

在数学教学中渗透数学思想，是新课改以来中学数学教学的基本要求。在数轴这一版块的教学中，教师需要结合具体的问题，引导学生深入实践、改变思维方式，真正促进学生数学思想的提升。

数轴作为典型的数学教学内容，承载着让学生理解概念、明晰内涵以及向学生渗透思想的教学价值，教师要循序渐进、紧扣教学内容与学生认知特点展开教学，为丰富学生认知、丰富认知内涵、积淀数学思想服务。

作者简介：覃永（1979— ），男，中学高级教师。研究方向：中学数学教学。