基于灰色预测模型的中国人口增长问题的研究

吴小霞

摘 要 随着中国人口的不断增长，如何采取有效的方法统计中国人口增长速度，已成为有关部门关注的热点。本文根据中国1985—2016年逐年人口统计数据，采用灰色预测法构建中国人口增长预测模型GM（1，1），并通过调整时间长度，对比分析数据提高了预测的精度，得出中国人口在2021年将达到14.2亿，为中国人口发展趋势提供可靠的参考信息。

关键词 人口增长 灰色预测模型 人口预测

中图分类号：C921文献标识码：A

中国是世界人口最多的国家，人口过多一直是影响其经济发展的一个重要因素。截止2017年，根据人口抽样调查统计，由中国统计年鉴显示我国人口已达13.9亿，与2010年（13.4亿）全国人口普查相比，7年时间人口增加了3.73%，年平均增长约为0.5%，增长速度低于2010年以前。

目前，人口增长预测方法有很多，且大部分方法随着应用和发展已日趋成熟，例如线性回归法、曲线拟合法、分析预测法、马尔萨斯模型等。其中曲线拟合预测法主要是利用过去人口增长情况，对未来人口发展趋势进行拟合预测。若人口增长幅度波动较大，在某一时间内骤然下降或猛然上升，则可考虑采用指数函数进行预测。分析预测法则通过推算得出未来人口增长幅度，它不涉及公式计算。

本文主要研究如何在中国人口增长问题中构建灰色预测模型，并解决提高预测模型的精度问题。

1灰色预测模型

灰色理论是华中科技大学邓聚龙教授于1982年提出的。它的理论概念是通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分预测模型，对事物发展规律作出长期的模糊性的描述。

灰色理论不是针对原始数据建立模型，而是采用一次累加生成新的数据建立预测模型GM（1，1）。灰色预测主要用于灰色时间序列预测，在应用上涉及问题很多，例如气象预报、地震预报、交通事故次数的预测、病虫害预报、人口预测与分析等。

本文以MATLAB为计算工具，研究传统的灰色预测模型GM（1，1）在中国近30年来的人口统计数据分析的应用，并分析了导致预测值偏差的原因。事实表明，在适当调整原始数据的时长的情况下，灰色预测模型的预测结果具有较高精度，可以有效利用GM（1，1）模型进行人口预测。

2中国人口近30年增长的灰色预测

考虑中国人口数据，通过查阅中国统计年鉴，提取1985年到2016年全国人口数据，如表1所示。

由表1绘制中国人口数据的柱形图，可见，从1985年到2016年的32年时间里，中国人口从105851万人增加到138271万人，其增长趋势较为平稳。

2.1数据的检验与预处理

为了保证GM（1，1）建模方法的可行性，需要对已知数据做必要的检验处理。建立中国人口数据时间序列如下：

计算该数列的级比：

由（1）式计算的级比结果见散点图1。 由于所有的级比都落在可容覆盖区间 内，则数据列可以建立GM（1，1）模型且可以进行灰色预测。

2.2建立传统GM（1，1）模型

对原始数据，通过一次累加运算生成累加序列：

，

其中

根据一次累加数据绘制的散点图以及二项式拟合曲线如图2所示。

图2：中国人口数据的一次累加散点图及二项式拟合

的均值生成序列为

其中，

根据数据列和建立灰微分方程：

（2）

其中a，b为未知参数。相应的白化微分方程为

（3）

记，构造数据矩阵B及数据向量Y如下：

则由（2）式构成方程组，可用最小二乘法求得参数a，b的估计值：

采用MATLAB软件，代入具体数据计算，得到参数估计值：

于是白化微分方程（3）可以改写为

（4）

求解微分方程（4）得

（5）

再令，于是由（5）式得到一次累加生成数列预测值：

从而可以得到原始人口數据的预测值：

，

（6）

由公式（6）得到的GM（1，1）模型的预测值与原始数据的比较见图3。由图3可见，虽然GM（1，1）模型的预测值可以用于估计原始数据，但是它们二者之间存在误差，这个误差在图3的两侧表现尤为突出。因此，有必要考察GM（1，1）模型的精度。

2.3 GM（1，1）模型的精度检验

为了判断灰色预测模型的可行性，现利用残差检验和级比偏差检验来定量分析GM（1，1）预测模型。

首先，进行残差检验：计算相对残差

（7）

如果对所有的k，有，则认为达到较高的要求;否则，若对所有k，有，则认为达到一般要求。

其次，进行级比偏差值检验：计算级比偏差值

（8）

此处为发展系数，采用估计值代入。如果对所有的k，有|，则认为达到较高的要求;否则若对所有的k，有，则认为达到一般要求。

图4：相对残差和级比偏差的散点图

由公式（7）和（8）计算相对残差和级比偏差的散点图如图4所示。可见，不管是相对残差，还是级比偏差，都可控制在0.1以内，这说明由原始数据构造GM（1，1）模型计算的精度达到较高的要求。

2.4模型的预测及结果分析

将参数a，b的估计值代入模型得到预测模型：

，

然后利用

得到第k+1年人口的预测值。给出了2017年到2021年连续五年的人口预测数据。

中国人口在2017年可达142720万人， （下转第246页）（上接第240页）而实际上，2017年的人口统计数据为139008万。这里预测误差达到3712万人，造成此误差的原因有很多，其中一个重要原因是样本太多，时间太长，对于预测的结果造成干扰。可以考虑适当缩短时间长度，减少数据，采用相同的灰色预测方法进行比较。现分别提取近30年（1987年—2016年）、近20年（1997年—2016年）以及近10年（2007年—2016年）的人口数据。

对比近30年、近20年以及近10年时长数据的预测结果，与2017年的实际统计数据139008万进行比较，发现实际数据处于时长在10年与20年的预测结果之间，可以考虑进一步调整时长以提高估计的精确度。通过利用MATLAB进一步计算比较，发现采用近17年的人口数据进行灰色预测的结果是139009万，误差最小，据此，可以估算出到2021年，中国人口将会达到141927万人。

3结语

本文利用中国1985—2016年人口统计数据建立G（1，1）模型，对中国人口数进行了灰色建模预测，并分析了导致预测值偏差的原因。 通过改变数据长度，利用MATLAB计算参数，对比预测值与实际统计值之间的误差，得出采用近17年的数据预测效果最好。事实表明，在调整原始数据时长的情况下，灰色预测模型的预测结果具有较高精度，可以有效利用GM（1，1）模型进行人口预测。

基金项目：国家社会科学基金项目《复杂科学理论视角下国家自主创新示范区域战略性新兴产业跃迁演化机理研究》（14BGL217）。

参考文献

[1] 李梦婉，沙秀艳.基于GM（1，1）灰色预测模型的改进与应用[M].计算机工程与应用，2016，52（04）：24-30.

[2] 田梓辰，刘淼.基于改进灰色GM（1，1）模型的GDP预测实证[J].统计与决策，2018（11）：83-85.