随机利率下参数变化对连续型线性增额寿险的影响

沈 丹,孙嘉聪,王 飞

(1. 渤海大学 数理学院， 辽宁 锦州 121013; 2. 辽宁理工学院 信息工程系， 辽宁 锦州121013)

1 给付现值的定义

给付现值，也称折现值，是指把未来现金流量折算为基准时点的价值，用以反映投资的内在价值.使用折现率将未来现金流量折算为现值的过程，称为“折现”.折现率，是指把未来现金流量折算为现值时所使用的一种比率.

2 随机利率下增额寿险模型

2.1 利息累计函数

R(t)=δt+β|B(t)|

(1)

其中B(t)为Brownian运动，|B(t)|是标准反射Brownian〔4〕运动(σ2=1)，β也是与t无关的随机变量或常数.

2.2 随机利率下n年定期即时给付增额寿险模型

(2)

其中R(t)为利息累计函数；α>0称为增长系数，特别的当α=1，称为n年标准定期增额寿险〔5〕模型.

3 随机利率下给付现值一阶矩

在DeMoivre死亡力下，0≤t

有

ZT=b(1+α[t])e-R(t)=b(1+α[t])e-(δt+β|B(t)|)

(3)

即：

(4)

4 随机利率下参数变化对连续型线性增额寿险的影响

考虑5,10,15,20年定期连续型线性增额寿险，假设保费以每年10%递增(α=0.1)，令b=1，取银行常见利率δ=0.025代入4中有

若投保人年龄x=20时，β=0.1,n=5

若投保人年龄x=30时，β=0.23,n=10

若投保人年龄x=30时，β=0.23,n=15

若投保人年龄x=40时，β=0.5,n=20

现取参数β=0.1,0.2,0.23,0.25,0.5,1经过MATLAB模拟运算，得到下表

表1 投保人x=20不同参数下给付现值变化表

βn0.10.20.230.250.515-0.0732-0.56302.20240.55120.06090.016110-0.2129-1.66516.55701.64570.19270.065715-0.4626-3.646914.39643.61930.43380.160720-0.9209-7.292728.82897.25460.88120.3410

表2 投保人x=30不同参数下给付现值变化表

βn0.10.20.230.250.515-0.1068-0.82143.21720.80450.08920.023710-0.3494-2.737010.78282.70710.31860.110115-0.8464-6.680626.38206.63420.79850.299320-1.7876-14.167656.021114.09981.71730.0476

表3 投保人x=40不同参数下给付现值变化表

表4 参数β=0.23不同年龄、不同定期下给付现值变化表

根据上述表格有如下结论：当息力累计函数含有Brownian干扰项时，

(1)此增额寿险给付现值模型显然为关于增长系数α>0的单调增函数；

(2)由表1，表2，表3可知，在参数β=0.23附近给付现值取得最大值.当β>0.23时，给付现值呈现正增长，当β<0.23，给付现值呈现负增长；

(3)由表4 在β=0.23处，

①当投保人年龄为20岁时，对应n=5,10,15,20年定期增额寿险，较前一期限下增幅分别为197.41%,119.56%；100.25%.

②当投保人年龄为30岁时，对应n=5,10,15,20年定期增额寿险，较前一期限下增幅分别为235.16%,144.67%,112.35%.

③当投保人年龄为40岁时，对应n=5,10,15,20年定期增额寿险，较前一期限下增幅分别为242.48%,148.67%,126.05%.

可见对于同一投保人，随着时间的增加，给付现值的增加变化趋势先急剧后缓慢.

综上可知，此随机利率下连续型线性增额寿险模型在同一参数下，随着投保期越长，投保年龄越大，回报率越高，有着较强的现实意义与指导意义.