圆锥曲线中的研究性学习案例

孔蕾

（江西省德兴市第一中学，江西 上饶 334200）

在中学数学教学中，学生学习圆锥曲线知识，可以培养学生的思维和逻辑能力，为今后的数学学习打下坚实的基础[1]。所以，在圆锥曲线教学中，根据椭圆、双曲线、抛物线知识作为教学思路，并在教学中融入生活情景教学模式，让学生在实际生活情景中，有利于掌握圆锥曲线知识。而且，为学生营造轻松活跃的课堂环境，引导学生进行探究性学习，并结合实际案例为圆锥曲线教学提供参考依据。在下文中，对研究性学习案例进行分析。

一、抛出问题

在进行圆锥曲线教学时，许多知识都可以解决生活实际问题，所以教师应利用该知识与生活实际应用之间的关系，引导学生在课堂教学中，对具体问题进行研究，让学生在研究问题过程中，激发学习的兴趣，并锻炼学生分析、解决问题的能力。在讲解抛物线知识时，笔者想学生提出以下问题：

（1）抛物线方程为x2=2y，一个圆的圆心正好在y轴的正半轴上，解答该圆的半径r为多少？若r在什么范围内，抛物线与圆发生相切，而相切位置坐标为多少？

（2）在抛物线x2=2y上，有一个定长为3的线段在移动，AB两端分别在抛物线上，假设在AB的中点为M，解答点M到x轴最短距离为多少，并解答M点的坐标。笔者在讲解该问题时，为学生创设情境环境，让学生在情景环境内，更加直观形象的解答该问题。笔者使用大小相同多个椭圆形酒杯、抛物线酒杯以及圆锥形酒杯，同时使用大小和长度不同的细棒，模拟线段AB在抛物线上移动过程。学生在看完教师的操作后，笔者将学生分成不同的小组，让学生在小组内模仿教师的操作过程，使学生直观的理解线段在抛物线上移动的过程。

二、问题的提出

学生在情景教学下解答问题时，教师向学生提出以下问题：将规格不同的玻璃球，长度不同的细棒，放入到椭圆形、抛物线形、圆锥形酒杯内，圆球和玻璃棒在杯中的位置关系是什么样的。学生根据问题，会做出如下回答：一，不同规格的圆球会在酒杯底部保持相切的状态；二，细棒会水平的保持在酒杯中；三，细棒可能会斜放在酒杯中。教师根据学生的回答，引导学生进行实际操作，让学生通过试验找到问题的答案。

三、问题的分析

在对问题分析时，笔者通过学生的操作，引导学生对试验过程进行分析，要求学生将试验观察到的结果进行介绍，学生做出如下回答：玻璃球会与酒杯保持在相切关系，而细棒会斜放在酒杯内部和杯壁上。根据学生的回答，教师向学生提出，在现有的知识内，玻璃球为什么会与酒杯相切，在底部和杯壁上相切的条件是什么？学生根据教师提出的问题，对酒杯的杯口宽度、酒杯深度进行测量，抛物线形酒杯杯口宽4cm，酒杯深度为4cm；椭圆形酒杯杯口宽度为3.6cm，酒杯深度为9cm，中间位置宽度为6cm。通过对酒杯的测量发现，教师引导学生通过测量，可以为解决提出的问题有哪些作用。学生根据教师提出的问题，通过分析后回答教师的提问。

四、问题的探索

在解答该数学题目时，笔者通过对玻璃球在抛物线形酒杯内的情况进行分析，将杯底作为直角坐标系的原点，根据方程x2=2py可知，在点（2，4）上，根据抛物线方程可知，p=12。将圆的圆心设在y轴的正半轴上，并且圆通过坐标原点可知，方程为x2+（2yr）2=r2，将该方程带入到抛物线方程内，得出y1=0，y2=2r21，而且为满足玻璃球接触到酒杯底部，r的范围为0＜r ≤ 12cm。

五、问题的深入

在完成问题的解答后，笔者引导学生对细棒在酒杯中的情况进行深入的研究。如果将2cm粗细均匀的细棒放入在酒杯内，如果细棒在酒杯内保持平衡，该细棒会在酒杯内的什么位置。在对这个问题解答时，学生可以采用物理知识解答，由于细棒保持在平衡状态，细棒的中心点应处在最低位置，线段AB中点M到x轴的距离应为最短。

六、回顾与反思

（一）过程与方法

在进行该知识点讲解时，先围绕圆的定义可知，在平面内两个定点距离比在不等于1的情况下，引导学生对到两个定点的距离和或差等于常数的点的轨迹进行探究，随后将椭圆与双曲面的知识引入到抛物线的概念中，进而讲解椭圆、双曲线的第二定义。

（二）传统与创新

在对三种圆锥曲线概念讲解时，传统的教学思路是按照椭圆、双曲线、抛物线的思路进行讲解，逐一解决每个知识点问题。但是，传统的教学方法不会培养学生的探究性学习能力。根据新课程教育改革标准，对教学方法进行创新改革，让学生在生活实际问题中，培养学生自主学习、主动探究以及合作交流等学习能力，有利于学生掌握和理解该知识点。而且，将计算机技术引入到教学中，让学生在电脑演示的辅助学习过程中，更加直观的学习该知识点，进而提升课堂教学质量和效率[2]。

（三）问题与不足

在课堂教学中讲解该知识点，配合电脑教学，使用几何画板等软件，可以提升教学质量和效率。但是，许多教学资源匮乏的学校，学生无法通过计算机的方式学习该知识。因此，教师在教学中通常作为主导者，向学生讲解该知识。如果在教学中，组织学生进行自主探究学习，既能锻炼学生的动手能力，还能让学生理解和掌握该知识点更加深刻，可以在该知识点讲解时，符合新课程教育改革的要求[3]。

结束语：

综上所述，在进行圆锥曲线知识教学过程中，教师可以采用提问的教学方式，引导学生进行研究性学习，并在教学中引入生活实际物体，让学生自己动手操作，使学生在实际动手操作中，掌握和理解该知识点。另外，学生在对教师提出的问题进行探究时，教师可以融入其它学科的知识，让学生增加解题思路，进而提升解题效率。而且，在教学中可以引入计算机技术作为辅助教学工具，通过计算机的展示，让学生在生动形象的讲解中，学习到该知识点的重点内容。