(2+1)维Burgers方程的新的精确解

李 伟

(渤海大学 数理学院， 辽宁 锦州 121013)

非线性偏微分方程(组)的解法受到如数学、物理学、工程学和生物学等各学科的广泛重视，为了寻求它们的解法，科学家做了大量而有益的工作，同时得到了一些行之有效的求解方法，如分离变量法、反散射方法、Backlund变换法、Darboux变换法、tanh函数法、Riccati方程法等[1-7]。本文借助行波变换法[8]、拟解法和齐次平衡法[9-11]获得了(2+1)维Burgers方程[12]的新的精确解。

(2+1)维Burgers方程如下：

(ut+αuux+βuxx)x+γuyy=0

(1)

1 (2+1)维Burgers方程的新的精确解

假定式(1)有如下形式的解：

(2)

其中k、h、w是待定常数，ξ0为任意实常数。 将式(2)代入式(1)整理化简得

(kw+h2γ)u″(ξ)+αk2(u(ξ)u′(ξ))′+

βk3u″(ξ)=0

(3)

对式(3)积分2次，积分常数均取0，则式(3)变为

(4)

假定式(4)有如下形式的解：

(5)

M是待定的正整数,ai是待定常数,φ(ξ) 是函数且满足Riccati方程，即

φ′(ξ)=b+φ(ξ)2

(6)

其中，b是任意常数，式(6)有如下形式的解：

(7)

根据齐次平衡法得到方程：M+1=2M，解得M=1。

首先，令拟解(5)的具体形式为

u(ξ)=a0+a1φ(ξ)

(8)

将式(6)和式(8)代入式(4),得到关于φi(ξ),(i=0,1,2)的方程，令φi(ξ),(i=0,1,2)的系数为0，得到关于ai(i=0,1)的代数方程组，利用Mathematica运算，求得如下形式的解：

(9)

将式(7)(8)和(9)代入式(2)，得到式(1)的新的精确解，即

(10)

其次，令拟解(5)的具体形式为：

u(ξ)=a0+a1φ(ξ)+a2φ-1(ξ)

(11)

将式(6)和式(11)代入式(4),得到关于φi(ξ)(i=0,±1,±2)的方程，令φi(ξ)(i=0,±1,±2)的系数为0，得到关于ai(i=0,1,2)的代数方程组，利用Mathematica运算，求得如下形式的解：

(12)

将式(7)(11) 和(12)代入式(2)，又得到式(1)的新的精确解，即

(13)

在这2种拟解中都需要φ(ξ)满足Riccati方程。下面用更直接的方法获得更广泛的精确解，令方程(4)拟解的形式为：

借助齐次平衡法，仍解得M=1，因此

(14)

将式(14)代入式(4),同时由于tanh2ξ=1-sech2ξ，得到关于tanhξ,sechξ的方程且tanhξ的次数为0或1，之后令tanhiξsechjξ(i=0,1;j=0,1,2,…)的系数为0，得到关于ai(i=0,1)的代数方程组，利用Mathematica运算，求得如下形式的解：

(15)

将式(15)代入式(14)就得到式(1)的新的精确解，即:

2 结束语

利用行波变换法、拟解法、齐次平衡法获得了Burgers的全新的精确解。这种方法也可用于解其他非线性偏微分方程(组)。精确解的获得将为近似计算、定理分析等现实问题提供必备的基础。