利用速度三角形和几何三角形相似推导向心加速度公式a=u²/R

摘 要：在新课标背景下准确把握教材知识并对教材内容进行恰当挖掘与拓展，利用速度三角形与几何三角形的相似之处，采取数学极限思想推导出向心加速度公式a=■，从而对教材内容做出适当补充，符合高中学生的思维发展。

关键词：速度三角形;几何三角形;相似;向心加速度

在解决物体的“动态平衡”问题时，在力三角形不是直角三角形的情况下，我们利用力三角形与几何三角形的相似性判断力的变化情况，即力三角形中三个力的比等于对应几何三角形中三个边的比。本篇在此基础上介绍利用速度三角形与几何三角形相似的方法推导向心加速度。

一、速度三角形中速度变化的表示

v0为初速度，vt为末速度，Δt为速度的变化量。Δv为第一个矢量终点指向第二个矢量终点或减数指向被减数，即Δv=vt-v0。如图1所示。

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图1

二、利用速度三角形与几何三角形相似性推导向心加速度公式

在图2中，v0、vt是时间间隔Δt前后的初速度和末速度。为了求二者之差Δv=vt-v0，移动v0，画出Δv形成速度三角形（图3）。由于只有在Δt很小的时候，曲线近似为直线或弧长近似等于弦长。只有把曲线运动看成直线运动，我们才能用■表示物体的加速度，所以实际上A、B两点相距很近，AB弧长等于AB弦长，把AOB可看成三角形（图4）。找出速度三角形中速度大小与几何三角形中边长的对应关系就能求得Δv。

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公式的推导过程可以从以下四个方面处理：

1.由于是匀速圆周运动，所以v0和v1大小是一样的，可以用同一个字母表示。

2.v0和v1的大小实际上就是上图中v0和v1的长度。解决几个物理量的关系，实际是找速度大小与几何三角形的边对应的比例关系。

3.角θ用弧度表示时，弧长S可以表示为S=rθ。当θ很小很小时，弧长与弦长没什么区别，即L=S，也就是图4中AB弧长等于AB弦长，AOB可看成三角形，所以S=rθ也表示弦長。这个关系可以用来计算矢量Δv的长度。在图4中，由速度三角形与几何三角形AOB相似得：

■=■

而L=S=v·Δt

即a=■

4.当A到B的时间很短或趋于零，方向近似垂直的方向时，可以认为方向指向圆心，也就是向心加速度的方向指向圆心。学生在学习向心加速度的方向时，一般都按向心加速度的方向和向心力方向相同去理解，本篇这种方法可作为确定向心加速度方向的另外一种方法。

通过矢量三角形与几何三形的相似推导向心加速度，尽管教材中没有作为必须掌握的内容讲解，但这种方法在物理知识的应用、作图、列式、计算等方面对学生有很大帮助。另外，本文应用极限的思想在学生物理思维的建立上也起到一定的引导作用，其实极限思维在高中课本中出现过，如位移与时间关系的推导中，时间很短时，匀变速直线运动可看成匀速直线运动处理。对于匀速圆周运动而言，本节内容涉及的知识点不是很多，无非就是几个基本公式，能够熟练掌握它们之间的关系和公式的应用即可。

本文的讨论只为基础较好的高中生提供一种物理学习方法上的参考。物理学习并不是死记硬背公式，而是讲究公式的推导方法与推导过程。掌握了这一知识点的推导过程对以后学习其他物理知识会起到事半功倍的作用。

参考文献：

王朝银.创新设计（必修2）[M].云南人民出版社，2015-11.

作者简介：王金虎（1982.04—），男，汉族，甘肃陇西人，本科学历，中学一级教师。研究方向：高中物理教育教学。