利用向量方法求空间角问题

陈菊芳

摘 要：向量一般用于高中数学中，利用向量导入法可以更好地进行高中数学几何运算。对向量基本概念做了简析，并通过举例来证明在高中几何中，使用向量法来开启各种解题思路，最终造成高中数学空间角度的详解。

关键词：向量;辅助线;异面

在高中数学中，几何知识属于重点与难点内容，而几何知识中空间角度的求解更是让学生感到望而却步。学生在脑海中没有形成一个立体的几何概念，对于几何图形的面与角的求解会感觉到非常困难，没办法用正确的方法打开解题思路，使得一部分学生对于空间几何的求解无从下手。

一、向量在数学中的概念

向量遵循的是平行四边形法则，并且含方向和大小，一般在空间几何中被广泛应用。

二、利用向量方法求空间角问题

1.平面与平面的夹角

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图1  图2

用向量法求二面角的大小原理，设■、■分别为平面α、β的法向量。二面角大α-l-β小为θ，向量■、■的夹角为φ，那么θ+φ=π（如：下图1）或者θ=φ（如：下图2）

那么结论为：构成二面角两个平面的法向量，其夹角和夹脚的补角，等于这个二面角的平面角。

因此，在图一中可以看出，■的方向相对于平面α而言，向内，■的方向相对于平面α而言，也向内;在图一中可以看出■的方向相对于平面α而言，向内，■的方向相对于平面α而言，是向外的。

2.直线与平面的夹角

例题：设θ1是直线a为平面α所成的角，θ2是直线a的方向向量与平面α的法向量■之间的夹角，那么θ2=■-θ1，或者θ2=■+θ1（如右图所示）

当θ2=0时，那么θ1=■，a⊥α;当θ2=■-θ1时，那么θ1=0，a？哿α或a∥α。那么θ1=arcsin■。如果直线a是平面α的斜线，a∩α=A，那么B∈a，B？埸α，■即为直线l的方向向量，则θ=arcsin■

3.建立空间夹角坐标求异面直线所成的角

如图1，右图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，FD⊥底面ABCD，E是FB的中点。已知AD=2，DC=2■，FD=2。

现求：（1）△FBC的面积;（2）异面直线AB与DE所成的角的大小。

解题：（1）∵FD⊥底面ABCD，∴FD⊥BC，所以BC⊥△FDC，因此BC⊥FC，又∵FC=■=2■，BC=2，∴△PBC的面積=■×2×2■。

解题：（2）如右图，在图形上建空间直角坐标系，∴A（2，0，0），∴B（2，2■，0），∴E（1，■，1），∴■=（1，■，1），∴■=（0，2■，0）。设■与■的夹角是θ，那么cosθ=■=■=■，∴θ=■。从上可得，异面直线AB与DE所成的角为■。

异面直线求角在高中数学几何运算中难度比较大，教师要想办法让学生能够打开思维，利用好垂直辅助线来求证空间几何的论证，通过向量能够更好的求出空间角的大小。

参考文献：

[1]吴天德.从一道高考题谈异面直线所成角的求法[J].中学数学研究（华南师范大学版），2018（3）.

[2]李文东.对向量法解立体几何问题的几点补充[J].中学数学研究（华南师范大学版），2017（13）：26-28.

[3]王统文.例说异面直线所成角求法的优化[J].数学学习与研究，2017（13）：108-109.