《三角形的中位线》教学设计

宋聪艳

内容地位分析

本节内容选自北师大版《义务教育教科书·数学·八年级下册》第六章第3节三角形的中位线。在此之前学习的全等三角形、平行四边形的性质与判定是本节课的基础。三角形中位线是继三角形的角平分线、中线、高线后的第四种重要线段。三角形的中位线定理为证明线段的平行和线段的倍分关系提供了新的方法和依据，也為后续研究直角三角形斜边上的中线的性质奠定了基础，在实际生活中有着广泛的应用。本节课“用平行四边形研究三角形问题”（后续用矩形研究直角三角形问题），与之前的“用三角形研究四边形问题”形成方法相呼应，积累几何问题研究方法相互转化的经验。为此，在教学中要重视渗透转化的数学思想。《数学课程标准》对本课的定位是探索并证明三角形的中位线定理。

学情分析

认知水平：在之前的学习中，学生多次经历了“探索—猜测—分析—证明”的过程，积累了一定的研究几何图形性质的经验。

班情分析：本班学生数学基础知识比较扎实，具备了一定的动手操作、猜想验证、推理证明的能力，但知识方法的迁移能力不够强，运用数学思想方法解决问题的意识也相对不强。

因此，本节课着眼于基础，注重能力的培养，鼓励学生采用自主探究、合作学习的方式，先动手操作获得体验，再借助三角形的有关知识进行探索和证明，注重知识的迁移，同时重点渗透转化的思想方法。

教学目标

知识技能：理解三角形的中位线概念，掌握三角形的中位线定理。

数学思考：通过学生经历三角形的中位线定理的探索发现过程，进一步发展学生的合情推理能力;通过引导学生分析发现几何证明思路的教学过程，进一步发展学生分析问题、解决问题能力;通过学生规范地表述三角形的中位线定理的证明的教学与评价，进一步发展学生演绎推理能力。

问题解决：能证明三角形的中位线定理，能应用三角形的中位线定理进行有关的计算和证明。

教学重点

掌握三角形的中位线定理。

教学难点

发现三角形的中位线定理，发现证明三角形的中位线定理的辅助线。

教学过程设计

一、设置情境，动手思考

1.做一做

能将一张三角形纸片剪成面积相等的两部分吗？能剪成面积相等的四部分吗？有哪些方法？

2.议一议

能将一张三角形纸片剪成全等的四个三角形吗？先与同伴交流，再动手操作。

【设计意图】教科书直接要求将一张三角形纸片剪成四个全等的三角形，这对于学生来说非常不容易。为了帮助学生找到解决该问题的方法，于是设计了做一做的活动作为铺垫。

二、尝试引导，发现特征

1.学生交流“议一议”的内容。

2.在学生交流后，出示小明是这样做的：

如图1，在△ABC的纸片中，取各边的中点D、E、F，分别沿DE、EF、DF剪开，得到了四个三角形。

【设计意图】安排了做一做，学生也可能无法解决议一议。为此，设计小明的做法作为学生效仿尝试。

3.试一试：按照小明的做法，得到的四个三角形全等吗？你是怎么判断的？

4.想一想：线段DE、EF、DF有什么共同的特征？

5.归纳：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

【设计意图】从试一试中，得到四个全等的三角形。学生会产生想知道为什么的欲望，引发对三条线段特征的关注，从而归纳得到三角形中位线的定义。

三、引申操作，做好铺垫

1.议一议

能将一张三角形纸片剪拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？想一想，能从上述动手操作中得到什么启发？

2.做一做

按如下小明的操作做一做：

（1）剪一个三角形纸片，记为△ABC;

（2）分别取AB、AC中点D、E，连接DE;

（3）沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ADE绕点E旋转180°，拼成四边形DBCG，如图2所示。

【设计意图】这个设计是为分析三角形的中位线定理的证明思路作准备的。

四、探索猜想，分析证明

1.议一议

将一张三角形纸片剪成全等的四个三角形，并验证全等的活动中，你发现了什么？与同伴交流。

教师引导：

提示1.三个三角形全等时，请观察三条中位线分别与什么对应？由此，你能得出什么结论？

提示2.观察图1，你能猜想中位线DE与边BC的位置有什么关系？

2.想一想

三角形的中位线有哪些特征？

3.证一证

三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

已知：如图3，DE是△ABC的中位线。

求证：DE∥BC，DE=■BC

分析：1.这个问题的证明结论有什么特征？

2.怎样才能实现证明两个结论？

3.上述活动中，“将一张三角形纸片剪拼成一个与其面积相等的平行四边形”能给你什么启发？与同伴交流。

【设计意图】引导学生学会分析证明思路，是培养学生分析问题、提升推理能力的有效途径。第3问正是之前剪拼活动的延续。

学生自主完成证明，并板演后，教师组织学生进行讲评，并写出规范的证明过程。

证明：如图4，延长DE到F，使EF=DE，连接CF。

∵DE是△ABC的中位线，

∴AE=CE，AD=BD。

在△ADE和△CFE中

∵AE=CE，∠1=∠2，DE=FE，

∴△ADE≌△CFE。

∴∠A=∠ECF，AD=CF。

∴CF∥AB，BD=CF。

∴四边形DBCF是平行四边形。

∴DF∥BC，DF=BC。

∵DE=EF，

∴DE∥BC，DE=■BC。

4.归纳

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

【设计意图】学生通过动手体验、分析特征、猜想结论、分析证明、归纳形成定理，进一步发展了学生的合情推理和演绎推理能力。考虑到教学时间的因素，定理证明的多种方法不在课内进行。

五、应用提升，解决问题

练一练

1.根据图中的条件，填空。

（1）如图（a），点D、E分别为AB和AC的中点，DE=5，则BC=    。

（2）如图（b），点D、E、F分别为AB、AC、BC中点，AC=8，∠C=70°，则DF=    ，∠EDF=    。

（3）如图（c），点D、E、F分别为AB、AC、BC中点，若△DEF的周长为10cm，则△ABC的周长为    ;若△ABC的面积等于20cm，则△DEF的面积为    。

2.已知三角形的三边长分别为8cm，10cm，12cm，求三角形的三条中位线的长？

变式：如图5，A1、B1、C1分别为△ABC的三边中点，若△ABC的周长为a，则△A1B1C1的周长为    ;A2、B2、C2分别为△A1B1C1的各边中点，A3、B3、C3分别为△A2B2C2的各边中点，…，An、Bn、Cn分别为△An-1Bn-1Cn-1的各边中点，则AnBnCn的周长为    .

【设计意图】简单的应用是为了帮助学生及时巩固所学的知识。

范例教学

例1 如图6，任意画一个四边形ABCD，以四边的中点为顶点组成一个新四边形EFGH，问四边形EFGH的形状有什么特征？并给出证明。

已知：如图6，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点。

求证：四边形EFGH是平行四边形.

分析：1.你能证明你的结论吗？

2.你是怎样想到要连接AC的？

解答（略，见课本）

【设计意图】在四边形的边上有中点时，连接对角线，构成三角形，将四边形问题转化为三角形问题。先鼓励学生猜测新四边形的形状，再思考如何证明。引导学生添加辅助线，再利用三角形中位线定理以及平行四边形的判定定理进行证明，体会通过添加辅助线将四边形问题转化为三角形问题，进一步渗透转化思想。

联系生活实际

3.如图7，A、B两点被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小明通过下面的方法估测出了A、B间的距离：先在AB外选一点O，然后步测出AO和BO的中点C、D，并测出CD的长，由此他知道了A、B两点的距离。你能说说其中的道理吗？

六、引导总结，布置作业

议一议

1.本节课你学到了什么？

2.我们是怎样发现三角形的中位线定理的？

3.我们是怎样分析找到证明三角形的中位线定理的思路？

4.對三角形中位线定理证明，你还有别的证法吗？

布置作业

必做题：课本P152习题6.6 第1、2、3题。

选做题：

1.请你想出两种三角形的中位线定理的不同证法，并写出证明过程。

2.请你找出生活中使用三角形的中位线的例子，并以此为背景编成一道题。