“线性型”数列互嵌问题的解法探究

陕西省商丹高新学校 (邮编：726400)

1 系数交错，目标明确型

例1(2019年高考全国Ⅱ卷理科第19题)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.

(1)证明：{an+bn}是等比数列，{an-bn}是等差数列；

(2)求{an}和{bn}的通项公式.

分析1 (1)可通过题意中的4an+1=3an-bn+4以及4bn+1=3bn-an-4，对两式进行相加和相减，即可推导出数列{an+bn}是等比数列以及数列{an-bn}是等差数列.(2)可通过(1)中的结果推导出数列{an+bn}以及数列{an-bn}的通项公式，然后利用数列{an+bn}以及数列{an-bn}的通项公式即可得出结果.

将4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4作差可得4an+1-4bn+1=3an-3bn+an-bn+8,整理可得an+1-bn+1=an-bn+2.

又a1-b1=1,故{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列.

①

由{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列可得an-bn=2n-1

②

点评该解法依据两个递推式的特点，并结合(1)的目标，利用两式相加和相减运算，先从整体上证明数列是等比或等差数列，然后再求得个体数列的通项公式的.

分析2 (1)要证明{an+bn}是等比数列，只要证明存在非零常数q，使得an+1+bn+1=q(an+bn)即可；要证明{an-bn}是等差数列，只要证明存在常数d，使得an+1-bn+1=(an-bn)+d即可.运用待定系数法证明.

令4d=8,得d=2,所以an+1-bn+1=an-bn+2.

又a1-b1=1,故{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列.

(2)同解法1.

点评该解法依据(1)的目标，利用两式相加和相减运算，先从整体上证明数列是等比或等差数列，然后再求得个体数列的通项公式的.

分析3 从代数方程的角度，联立两个递推式将其看成是二元一次方程组，通过消元降维分别得到单个数列的递推关系，再进行求解.

解法3(消元降维法)由4an+1=3an-bn+4,得bn=-4an+1+3an+4,所以bn+1=-4an+2+3an+1+4.

代入4bn+1=3bn-an-4,得4×(-4an+2+3an+1+4)=3×(-4an+1+3an+4)-an-4,整理得

解法4(消元降维法)由4bn+1=3bn-an-4,得an=-4bn+1+3bn-4,所以an+1=-4bn+2+3bn+1-4.

以上各式相加，得bn-b1=

an=-4bn+1+3bn-4=

点评解法3和解法4其实是同一种方法，不同的是以哪个单数列为主来求解.在求解的过程中还运用到了“累加法”求和，同学们需好好体会.消元降维法是求解这类递推数列问题一般性的方法.

2 系数交错，目标不明型

例2 已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,4an+1=3an+bn+4,4bn+1=3bn+an+4.求{an}和{bn}的通项公式.

简析由于该变式没有了像例1(1)那样的的目标结论的过渡，所以不方便用待定系数法求解，而运用加减运算法或消元降维法求解都可，请读者自行完成.

例3 已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,an+1=5an+3bn+7,bn+1=5bn+3an,求{an}和{bn}的通项公式.

简解对于该题，由于系数相对要复杂一些，所以利用加减运算法求解较好.

两式相加，整理得an+1+bn+1+1=8(an+bn+1),所以数列{an+bn+1}是首项为a1+b1+1=4,公比为8的等比数列，故得an+bn+1=4·8n-1.

两式相减，整理得an+1-bn+1+7=2(an-bn+7),所以数列{an-bn+7}是首项为a1-b1+7=8,公比为2的等比数列，故得an-bn+7=8·2n-1.

从而解得an=2·8n-1+4·2n-1-4,bn=2·8n-1+4·2n-1+3.

当然，利用消元降维法也可以求解，读者不妨自行完成.

3 系数无关型

例4 已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=5,an+1=-2an+bn+2,bn+1=3bn-4an+4,求{an}和{bn}的通项公式.

分析由于两个递推式中的系数没有关系，可从代数方程的角度，利用消元降维法求解.

解(消元降维法)由an+1=-2an+bn+2,得bn=an+1+2an-2,所以bn+1=an+2+2an+1-2.

代入bn+1=3bn-4an+4,得an+2+2an+1-2=3(an+1+2an-2)-4an+4,整理得an+2-an+1-2an=0,即an+2+an+1=2(an+1+an),所以数列{an+1+an}是首项为a2+a1=6,公比为2的等比数列，故得an+1+an=6·2n-1=3·2n.

所以an+1-2n+1=-(an-2n),所以数列{an-2n}是首项为-1,公比为-1的等比数列，所以an-2n=(-1)n,从而得an=2n+(-1)n.

所以bn=an+1+2an-2=2n+2+(-1)n-2.

点评该题在运用消元降维法求解转化的过程中，两次 “配凑”构造等比数列，需要有较高的数学抽象、数学运算和数学建模等数学核心素养.

至此，递推式形如