Brinkman流体与Darcy流体界面连接共振渗透对流的结构稳定性

李远飞,郭战伟

(广东财经大学华商学院应用数学系,广东 广州 511300)

1 引言

在本文中,假设Ω是R3上的光滑有界区域,而且在该区域上存在两种不同的流体.他们存在的区域分别为 Ω1和 Ω2,Ω=Ω1∪Ω2.Ω1和Ω2的交界面位于平面x3=0上,其中Ω1和Ω2分别位于x3=0的上方和下方,把交界面记为L.共振渗透对流的流体存在于区域Ω1上,其控制方程为Brinkman方程,在Ω2上存在一个多孔介质流体,满足Darcy方程.记∂Ω1和∂Ω2分别为Ω1和Ω2的光滑的边界.边界除了公共界面L外的部分分别记为Γ1和Γ2.显然,∂Ω1=Γ1∪L和∂Ω2=Γ2∪L.

令(ui,T,p)和(vi,θ,q)分别表示流体在区域Ω1和Ω2上的速度、温度和压强.研究的Brinkman方程为

其中gi是重力函数,不失一般性假设maxgigi≤1,Q(x,t)是内部的热源或一个散热器.研究已经表明,对于此问题,当考虑平面无限层中的热对流时,内层之间可能出现共振.一个关键参数是内部热源,它的存在可能导致振荡不稳定.因此,研究各种类型的偏微分方程控制的多孔介质非等温流动模型在一般三维区域内对热源本身连续依赖性是具有实际意义的,有兴趣的读者参看文献[1-5].值得一提的是文献[1]以及其中引用的许多参考文献讲述了物理相关问题的很多应用.区域Ω2上Darcy方程为(见文献[6])

其中τ是一个给定的常数满足0≤τ<∞.假设流体处于一个外界温度为Ta的环境中,在区域的边界上满足牛顿冷却定律.因此问题的边界条件可以写为

其中k1和k2是牛顿冷却定律中的冷却系数,是区域∂Ω2的单位外法向量.并且记是区域∂Ω1的单位外法向量.显然.初始条件为

其中T0和θ0是给定的函数.在交界面L上的条件为

其中α是由给定流体和给定多孔固体通过实验确定的系数.这些边界条件在文献[6]中得到了详细讨论.(5)式中的最后一个条件实质上是从文献[7]中得出的.文献[8]在实验结果的基础上进行了论证.在第二部分将推导温度的先验界.利用这些先验界,在第三部分证明热源和冷却系数的连续依赖性.

2 先验界

3 主要定理及其证明

3.1 对热源的连续依赖性

3.2 牛顿冷却定律中冷却系数的连续依赖性